医疗期的开始时间确实是按照员工在公司第一次请病假并正式开始休病假的那一天起算的。以下是对这一问题的详细解释：

1. 医疗期的定义与起始时间：

   • 医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息，且在此期间用人单位不得解除劳动合同的时限。
   • 医疗期一般从职工开始休病假的第一天起算，即持医疗机构出具的病休证明，向用人单位正式申请并开始休病假的那一天。

2. 医疗期的累计计算方式：

   • 医疗期的时长并非一次性连续计算，而是根据职工实际参加工作年限和在本单位工作年限来确定，并在一定周期内累计计算。
   • 例如，医疗期为三个月的，在六个月内累计病休时间计算；医疗期为六个月的，在十二个月内累计病休时间计算，以此类推。

3. 具体应用示例：

   • 假设员工小张应享受六个月医疗期，其从2024年5月10日开始休病假，那么他的医疗期应在2024年5月10日至2025年5月9日这个十二个月的周期内累计计算。只要在此期间累计病休达到六个月，即视为医疗期满。

4. 特殊情况说明：

   • 对于患特殊疾病（如癌症、精神病、瘫痪等）的职工，如果在24个月内尚不能痊愈，经企业和劳动主管部门批准，可以适当延长医疗期。

建议与注意事项：

• 员工在请病假时，应确保持有医疗机构出具的病休证明，并按照公司规定流程正式申请病假。
• 用人单位在计算医疗期时，应严格按照相关法律法规执行，不得随意缩短或延长医疗期。
• 不同地区的具体执行标准可能有所差异，建议在实际操作中咨询当地劳动部门或直接向我咨询以获取最准确的信息。

综上所述，医疗期的开始时间是从员工第一次请病假并正式开始休病假的那一天起算的。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。