欠信用卡13000元，银行在多次催收无果后，确实有权向法院提起诉讼，但是否会实际起诉取决于多种因素。以下是对这一问题的详细分析：
一、银行可能起诉的情况
长时间欠款且多次催收无果：
- 若您欠款13000元并超过三个月未还，银行已通过短信、电话等多种方式进行了多次有效催收，但您仍拒绝还款或逃避债务，银行可能会选择向法院提起诉讼以追讨欠款。
恶意透支行为：
- 若银行认定您存在恶意透支行为，即您以非法占有为目的，超过规定限额或期限透支，并经两次有效催收后超过三个月仍不归还，即使欠款金额为13000元，银行也可能提起诉讼。恶意透支行为可能涉及刑事责任，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，数额较大的（五万元以上）将处五年以下有期徒刑或者拘役，并处二万元以上二十万元以下罚金。但需注意，13000元尚未达到刑事立案标准，不过若持续不还且情节严重，可能构成信用卡诈骗罪的其他情形。
二、银行通常不起诉的情况
有还款意愿且积极沟通：
- 若您在欠款后主动与银行联系，说明经济状况，表达还款意愿，并与银行协商制定合理的还款计划，银行通常会倾向于同意协商方案，而非直接起诉。
欠款金额与起诉成本考量：
- 考虑到起诉需耗费人力、物力和财力，对于13000元的欠款，银行可能会认为起诉成本相对较高，不划算，因此更倾向于通过其他方式如电话催收、委托第三方催收机构等进行催收。但需注意，这并不意味着银行不会起诉，若您长期不还款且态度消极，银行仍可能选择法律途径。
三、法律后果与影响
诉讼费用与违约责任：
- 一旦银行起诉且胜诉，您需偿还欠款本金、利息、滞纳金及承担诉讼费用。这些费用将增加您的经济负担。
强制执行：
- 如您拒不还款，法院可强制执行，如冻结银行账户、查封资产等。这将严重影响您的日常生活和财务状况。
个人征信受损：
- 逾期记录将严重影响个人征信，对今后贷款、信用卡申请、购房、购车等金融活动产生不利影响。良好的信用记录是个人财务生活的重要基础，因此务必重视。
失信被执行人名单：
- 情节严重者可能被列入失信被执行人名单，限制高消费。这将进一步限制您的社会活动和经济行为。
四、建议与应对措施
尽快协商还款计划：
- 建议您尽快与银行联系，诚实沟通自身财务状况，协商制定可行的还款计划。这有助于减轻您的经济负担并避免法律后果。
保持积极还款态度：
- 您应表现出积极的还款意愿，按时履行还款计划。这有助于减少银行起诉的风险并维护良好的个人信用。
增强法律意识：
- 了解相关法律法规，明白逾期不还的严重后果。这有助于您更好地维护自身权益并避免不必要的法律风险。
综上所述，欠信用卡13000元是否会被起诉取决于多种因素，包括欠款时间、催收历史、还款意愿及银行政策等。为避免可能的法律后果和信用损失，建议您尽快与银行协商并制定合理的还款计划。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。