母亲可以立遗嘱将自己名下的房子指定由孙子继承，这是法律允许的。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百三十三条的规定，自然人可以立遗嘱将个人财产指定由法定继承人中的一人或者数人继承，也可以立遗嘱将个人财产赠与国家、集体或者法定继承人以外的组织、个人。孙子虽不属于法定第一顺序继承人（配偶、子女、父母），但属于法定继承人以外的个人，因此母亲完全可以通过遗嘱的方式将房产指定由孙子继承。

关于费用问题，主要涉及以下几个方面：

1. 遗嘱公证费用：如果母亲选择对遗嘱进行公证，以增强其法律效力并减少后续可能产生的纠纷，那么需要支付一定的公证费用。公证费用的具体标准因地区而异，一般按照遗嘱所涉及的财产价值的一定比例收取，但也有地区采用定额收费的方式。例如，有些地方可能规定遗嘱公证费用为每件数百元至数千元不等，具体数额需根据当地公证处的收费标准来确定。

2. 房产过户费用：在母亲去世后，孙子需要依据遗嘱办理房产过户手续。这一过程中可能涉及的费用包括契税、印花税、登记费等。但根据相关规定，法定继承人（包括遗嘱继承人）继承土地、房屋权属时，免征契税。因此，孙子作为遗嘱继承人，在继承房产时通常不需要缴纳契税。不过，仍需缴纳少量的印花税和登记费等，这些费用因地区而异，具体数额需咨询当地相关部门。

3. 其他潜在费用：如果遗嘱继承过程中存在争议或纠纷，可能需要通过法律途径解决，如诉讼等。这时就会产生诉讼费、律师费等额外费用。但这些费用并非必然发生，且具体数额因案件复杂程度、律师收费标准等因素而异。

建议：

• 如果母亲希望确保遗嘱的法律效力并减少后续纠纷，可以考虑对遗嘱进行公证。
• 在办理房产过户手续前，建议咨询当地相关部门或专业人士，了解具体的费用标准和办理流程。
• 如果遗嘱继承过程中出现争议或纠纷，建议及时寻求法律帮助，以维护自身合法权益。

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