针对你提出的问题，“土地租赁给别人建厂，合同到期后甲方私下可以另外以更高的租金租给别人吗”，我的回答如下：

结论：在土地租赁合同到期后，甲方（出租方）有权决定是否继续出租以及出租的条件，包括租金金额。但甲方在行使这一权利时，应遵守相关法律法规，并确保不侵犯乙方（承租方）的合法权益，特别是关于优先承租权的规定。

分析说明：

1. 合同自由原则：根据《民法典》的相关规定，合同是当事人意思自治的产物，租赁合同到期后，甲方作为出租方有权自主决定是否继续出租土地，以及出租的具体条件，包括租金、租期等。这是合同自由原则的体现。

2. 优先承租权：然而，在某些情况下，乙方可能享有优先承租权。这通常会在租赁合同中明确约定，或者根据当地的地方性法规、政策等规定。如果乙方享有优先承租权，那么甲方在合同到期后欲以更高租金出租给第三方时，应先征询乙方的意见，乙方在同等条件下有权优先承租。

3. 通知义务：即使乙方不享有优先承租权，甲方在决定以更高租金出租给第三方时，也应遵循诚实信用原则，履行相应的通知义务。这有助于维护双方的信任关系，并避免不必要的纠纷。

4. 法律后果：如果甲方违反相关法律法规或合同约定，擅自以更高租金出租给第三方，可能会面临乙方提起的诉讼或仲裁，要求赔偿损失或承担违约责任。

建议：

• 在租赁合同到期前，双方应就续租事宜进行协商，明确各自的权利和义务。
• 如果乙方享有优先承租权，甲方应确保在出租给第三方前征询乙方的意见。
• 甲方在行使出租权时，应遵守相关法律法规和合同约定，确保不侵犯乙方的合法权益。

综上所述，甲方在土地租赁合同到期后有权决定是否以更高租金出租给第三方，但应遵守相关法律法规和合同约定，确保不侵犯乙方的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。