子女若利用其被纵容的职权谋取私利，在特定情况下确实需要承担法律责任。以下从不同角度进行详细分析：
一、子女可能承担的法律责任
如果子女是国家工作人员：
- 根据《中华人民共和国刑法》第三百八十八条之一的规定，国家工作人员的近亲属或者其他与该国家工作人员关系密切的人，通过该国家工作人员职务上的行为，或者利用该国家工作人员职权或者地位形成的便利条件，通过其他国家工作人员职务上的行为，为请托人谋取不正当利益，索取请托人财物或者收受请托人财物，数额较大或者有其他较重情节的，构成利用影响力受贿罪。
- 在这种情况下，即使父母没有直接参与受贿行为，但如果他们纵容子女利用其职权谋取私利，且子女因此构成犯罪，子女将依法承担刑事责任。
如果子女不是国家工作人员，但参与共同犯罪：
- 如果父母是国家工作人员，且纵容子女利用其职权谋取私利，而子女虽然不是国家工作人员，但参与了受贿行为的策划、实施或帮助等环节，那么子女可能构成受贿罪的共犯。
- 根据《中华人民共和国刑法》第二十五条的规定，共同犯罪是指二人以上共同故意犯罪。因此，在这种情况下，子女也将依法承担刑事责任。
二、父母纵容行为的法律后果
- 虽然父母纵容子女利用其职权谋取私利的行为本身可能不直接构成犯罪（除非父母也是国家工作人员且直接参与受贿行为），但这种行为可能违反党纪政纪规定，如《中国共产党纪律处分条例》等，从而受到相应的党纪政纪处分。
- 此外，如果父母的行为构成对子女犯罪的包庇或纵容，且情节严重，还可能构成包庇罪等其他犯罪。
三、法律建议与后果预防
对于父母：
- 应严格遵守法律法规和党纪政纪规定，不得纵容或包庇子女利用其职权谋取私利。
- 一旦发现子女有此类行为，应立即制止并报告相关部门，以避免事态扩大和法律后果的加重。
对于子女：
- 应树立正确的价值观和法律意识，不得利用父母的职权谋取私利。
- 如果已经涉及此类行为，应主动向相关部门自首并配合调查，以争取从轻或减轻处罚。
案例参考：在实际案例中，不乏有国家工作人员的子女利用其父母的职权谋取私利而被追究刑事责任的例子。这些案例通常涉及受贿罪、利用影响力受贿罪等罪名，且子女往往因父母的纵容或包庇而陷入更深的法律困境。
总结与提醒：纵容子女利用其职权谋取私利是一种极其危险和不负责任的行为。它不仅可能使子女陷入法律困境，还可能对父母自身的职业生涯和声誉造成严重影响。因此，我强烈建议父母和子女都要严格遵守法律法规和党纪政纪规定，共同维护社会的公平正义和法治秩序。如果您或您的家人遇到此类法律问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。