结论：没签劳动合同离职时，是否需要签订敬业协议（通常指竞业限制协议），取决于具体情况，并非强制要求。以下从多个角度进行分析：
一、竞业限制协议的法律基础与适用范围
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，竞业限制协议是用人单位与劳动者约定的，在解除或者终止劳动合同后，劳动者不得到与本单位生产或者经营同类产品、从事同类业务的有竞争关系的其他用人单位任职，或者自己开业生产或者经营同类产品、从事同类业务的协议。竞业限制协议的签订，通常要求用人单位与劳动者之间存在劳动关系，并且该协议的签订应当遵循公平、自愿的原则。
二、未签订劳动合同的情况分析
未建立劳动关系：如果双方未签订劳动合同，且实际上也未形成劳动关系（例如，仅是短期、临时的雇佣关系，或者双方并未按照劳动法的规定履行各自的权利和义务），那么在这种情况下，双方并不具备签订竞业限制协议的法律基础。因为竞业限制协议是劳动关系存续期间或终止后的一种特殊约定，没有劳动关系，自然无法签订此类协议。
事实劳动关系：即使双方未签订书面劳动合同，但如果实际上已经形成了事实劳动关系（例如，劳动者已经为用人单位提供了劳动，用人单位也接受了劳动并支付了报酬），那么在这种情况下，双方理论上是可以签订竞业限制协议的。然而，由于未签订书面劳动合同，双方的权利义务可能不够明确，这可能会增加签订竞业限制协议时的法律风险和争议。因此，即使存在事实劳动关系，也建议双方先补签书面劳动合同，明确各自的权利义务，再考虑签订竞业限制协议。
三、竞业限制协议的签订建议
明确签订主体：竞业限制协议应当由用人单位与具有特定身份（如高级管理人员、高级技术人员等）的劳动者签订。对于普通劳动者，除非其掌握用人单位的商业秘密或核心机密，否则一般无需签订竞业限制协议。
明确竞业限制范围：竞业限制协议应当明确竞业限制的范围、地域、期限等关键条款。这些条款应当合理、具体，并且不得违反法律法规的强制性规定。
支付经济补偿：根据劳动合同法的规定，用人单位在竞业限制期限内应当按月给予劳动者经济补偿。这是竞业限制协议生效的重要条件之一。如果用人单位未支付经济补偿，劳动者有权拒绝履行竞业限制义务。
四、未签订竞业限制协议的法律后果
如果双方未签订竞业限制协议，或者竞业限制协议无效（例如，因违反法律法规的强制性规定而无效），那么劳动者在离职后不受竞业限制义务的约束。他们可以自由选择到与原用人单位有竞争关系的其他用人单位任职，或者自己开业生产或者经营同类产品、从事同类业务。
总结来说，没签劳动合同离职时，是否需要签订敬业协议（竞业限制协议）取决于双方是否建立了劳动关系以及劳动者的身份和职责。在未签订书面劳动合同的情况下，建议双方先明确劳动关系和各自的权利义务，再考虑是否签订竞业限制协议。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。