核心结论：美甲店员工若遇到不补签劳动合同的情况，可通过协商、投诉、申请劳动仲裁或提起诉讼等途径来维护自身合法权益。以下是对此问题的详细分析：

1. 协商解决：

   • 尝试沟通：首先，员工可以尝试与美甲店的管理层或负责人进行友好沟通，明确表达补签劳动合同的意愿，并说明劳动合同对于保障双方权益的重要性。
   • 提出合理要求：在沟通中，员工可以提出合理的补签时间、合同条款等要求，以促成双方达成一致。

2. 向劳动监察部门投诉：

   • 了解投诉渠道：如果协商无果，员工可以向当地的劳动监察部门（如劳动保障监察大队）进行投诉。
   • 准备投诉材料：在投诉时，员工需要准备相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明自己与美甲店存在劳动关系。
   • 跟进投诉进展：投诉后，员工可以跟进投诉的进展情况，并配合劳动监察部门的调查工作。

3. 申请劳动仲裁：

   • 了解仲裁流程：如果投诉未能解决问题，员工可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
   • 提交仲裁申请：在申请仲裁时，员工需要提交仲裁申请书、相关证据材料等，并按照仲裁委员会的要求参与仲裁程序。
   • 执行仲裁裁决：如果仲裁裁决支持员工的诉求，美甲店需要履行裁决义务；如果美甲店不履行，员工可以向法院申请强制执行。

4. 提起诉讼：

   • 考虑诉讼成本：在仲裁裁决未能满足员工诉求或美甲店不履行仲裁裁决的情况下，员工可以考虑向法院提起诉讼。但需要注意的是，诉讼成本相对较高，且耗时较长。
   • 准备诉讼材料：在提起诉讼前，员工需要准备充分的诉讼材料，包括起诉状、证据材料等。
   • 参与诉讼程序：在诉讼过程中，员工需要按照法院的要求参与庭审、提交证据等诉讼活动。

额外建议：

• 保留证据：在整个过程中，员工应尽可能保留与美甲店存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录、工作照片或视频等。
• 寻求法律援助：如果员工在处理此事过程中遇到法律难题或需要法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议。

行动提示：面对美甲店不补签劳动合同的情况，员工应积极采取行动维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我提问。