公司辞退员工却不给出具证明，也不给补偿金，这是不合法的行为，员工有权通过法律途径维护自己的权益。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、公司辞退员工应出具证明的义务
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在解除或者终止劳动合同时，应当出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。这是公司的法定义务，不得以任何理由拒绝履行。如果公司未出具证明，员工可以向劳动行政部门投诉，要求公司履行义务。
二、公司辞退员工应支付补偿金的情形
合法辞退但需支付经济补偿：
- 如果公司因员工不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作等原因辞退员工，应当向员工支付经济补偿。
- 经济补偿的标准按照员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
违法辞退需支付赔偿金：
- 如果公司违法辞退员工，如无正当理由、未提前通知等，员工有权要求公司支付赔偿金。
- 赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍，即按照员工在本单位工作的年限，每满一年支付两个月工资的标准向员工支付。
三、员工应如何维权
与公司协商：
- 员工可以先尝试与公司进行协商，要求公司出具解除劳动合同的证明，并支付应得的补偿金或赔偿金。
向劳动行政部门投诉：
- 如果协商无果，员工可以向当地的劳动行政部门投诉，要求劳动行政部门介入调查，并责令公司履行义务。
申请劳动仲裁：
- 如果投诉仍未解决问题，员工可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求仲裁委员会裁决公司支付补偿金或赔偿金，并出具解除劳动合同的证明。
提起诉讼：
- 如果对劳动仲裁结果不满意，员工还可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的权益。
四、注意事项
- 保留证据：员工在维权过程中应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、辞退通知等，以便在需要时提供证明。
- 及时行动：员工在发现公司存在违法行为时，应及时采取行动，避免超过法律规定的时效期间。
- 寻求专业帮助：如果员工对法律程序不熟悉或遇到复杂情况，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分维护。
总结来说，公司辞退员工却不给出具证明，也不给补偿金，是违法的行为。员工有权通过协商、投诉、劳动仲裁和诉讼等途径维护自己的权益。如果你遇到类似情况，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。