私下签订并按手印的协议，在符合一定条件下是有效的且合法的。以下是对这一问题的详细分析：

一、协议有效的前提条件

1. 合同主体具备民事行为能力：

   • 签订协议的各方必须具备理解协议内容并承担相应法律后果的能力。这通常指年满18周岁且精神健康的自然人，以及16周岁以上以自己的劳动收入为主要生活来源的未成年人。若其中一方为无民事行为能力人或限制民事行为能力人，则所签协议可能无效或效力待定。

2. 意思表示真实：

   • 协议必须是各方当事人自愿、平等、真实地达成的，不存在欺诈、胁迫、重大误解等情形。若一方在受威胁或误导下签订协议，该协议可被撤销。

3. 不违反法律法规与公序良俗：

   • 协议内容必须符合法律和行政法规的规定，不得损害国家利益、社会公共利益和他人合法权益，也不得违背公共秩序和善良风俗。例如，签订走私活动的协助协议或维持不正当关系的协议，均因违反法律或公序良俗而无效。

4. 形式符合要求：

   • 虽然法律未强制要求协议必须按手印，但按手印是增强协议真实性和证明力的有效方式。协议可通过签字、盖章或按指印等方式成立。若协议中明确约定了生效的特殊形式要求（如公证），则必须满足该要求才能生效。不过，公证并非协议生效的必要条件，它只是通过公证机构的证明，增强协议的证明力和公信力。

二、按手印的法律效力

• 按手印在法律上被视为对协议内容的确认方式之一，与签名、盖章具有同等法律效力。它能够进一步证明当事人对协议内容的认可。

三、特殊情况下协议的效力

• 对于涉及大额金额、重要事项或法律有特别规定的协议，可能需要额外的公证或登记手续来确保其法律效力。例如，房产买卖、股权转让等通常需要办理相关登记手续。但即便如此，这些手续也是基于协议本身已经满足有效条件的前提下的额外保障措施。

四、建议与注意事项

• 在签订任何协议前，建议当事人仔细审查协议内容，确保所有条款均符合法律法规和公序良俗，且意思表示真实。
• 对于涉及重要权益的协议，可以考虑咨询法律专业人士（比如我）的意见，以降低法律风险。
• 尽管按手印和签字、盖章具有同等法律效力，但为了确保协议的严谨性和可识别性，建议当事人在签订协议时同时采用签字并盖章（或按手印）的方式。

总结来看，私下签订并按手印的协议在法律上通常具有一定的效力，但必须满足合同主体具备民事行为能力、意思表示真实、不违反法律法规与公序良俗以及形式符合要求等条件。对于特殊情况下的协议，还需考虑是否需要额外的公证或登记手续。因此，在签订协议前，务必谨慎审查并确保所有条件的满足。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。