私下签订的协议，在双方意思表示真实、行为人具有相应的民事行为能力，且内容不违反法律法规的强制性规定、不违背公序良俗的情况下，按手印并邀请第三方人公证后，该协议是有效的。以下是对这一结论的详细解释：

1. 协议有效的条件：

   • 行为人具有相应的民事行为能力：签订协议的双方当事人需具备独立实施民事法律行为的资格和能力。例如，完全民事行为能力人可以独立签订协议，而无民事行为能力人所签协议通常无效。
   • 意思表示真实：双方在签订协议时，必须自愿、真实地表达自己的意愿，不存在欺诈、胁迫、重大误解等情形。
   • 不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗：协议内容必须符合法律规定，不得违反法律的强制性规定，也不得违背社会公共秩序和善良风俗。

2. 按手印的法律效力：

   • 按手印作为一种确认方式，与签字、盖章具有同等的法律效力，能够进一步证明当事人对协议内容的认可。它增强了协议的真实性和双方的意愿表达，使协议更具证明力。

3. 第三方人公证的作用：

   • 虽然公证并非协议生效的必要条件，但邀请第三方人进行公证可以进一步增强协议的公信力和证明力。公证机构的证明使协议在发生纠纷时更容易被法院采纳和执行。

4. 无效的情形：

   • 如果协议存在欺诈、胁迫、重大误解等情况，或者协议内容违反法律法规的强制性规定、违背公序良俗，那么该协议可能被认定为无效。
   • 此外，如果行为人与相对人恶意串通，损害他人合法权益，或者协议中的免责条款免除一方主要责任、排除对方主要权利，这些情形也可能导致协议无效。

综上所述，私下签订的协议在符合一定条件下是有效的，按手印和邀请第三方人公证可以增强协议的证明力和公信力。当事人在签订协议时应确保意思表示真实、内容合法合规，并根据需要选择是否办理公证。如果您有任何关于协议签订或法律效力的问题，可以直接向我咨询。