私自砍伐城市绿化树木是明确的违法行为，将依法承担行政责任，情节严重的还可能构成犯罪，需承担刑事责任。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据
根据《城市绿化条例》第二十条及第二十六条的规定，任何单位和个人都不得损坏城市树木花草和绿化设施，砍伐城市树木必须经城市人民政府城市绿化行政主管部门批准，并按照国家有关规定补植树木或者采取其他补救措施。未经批准擅自砍伐的，将面临法律责任。
二、行政责任
责令停止违法行为：一旦发现私自砍伐行为，城市绿化行政主管部门将立即责令违法者停止侵害，以防止损害进一步扩大。
罚款：未经批准擅自砍伐城市树木的，将面临罚款处罚。罚款数额根据当地规定及砍伐树木的数量、种类、价值等因素确定，通常按照砍伐树木价值的一定倍数进行罚款。例如，擅自砍伐一般树木，每株可能处500至2000元罚款；若砍伐珍贵树木或特殊意义树木，处罚将更严厉。
补种树木或采取其他补救措施：违法者需按规定补植树木，补植数量和规格需与被砍伐树木相匹配。若无法补植，则需缴纳一定费用用于城市绿化建设和养护。
三、民事责任
私自砍伐城市绿化树木还会对城市生态环境和公共利益造成损害，因此，树木的管理单位（如城市绿化管理部门）有权要求违法者承担民事赔偿责任。赔偿范围包括树木本身的价值以及因砍伐导致的生态环境破坏、景观损失等间接损失。树木价值将通过专业评估机构进行评估确定。
四、刑事责任
若私自砍伐城市绿化树木的行为情节严重，可能触犯《中华人民共和国刑法》中的滥伐林木罪。具体判断标准包括砍伐树木的数量、树种等。一般来说，滥伐林木“数量较大”以十至二十立方米或者幼树五百至一千株为起点；“数量巨大”则以五十至一百立方米或者幼树二千五百至五千株为起点。触犯此罪的，将面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金的刑罚；情节特别严重的，还将面临更重的刑罚。
五、特殊情况处理
对于擅自砍伐古树名木的行为，处罚将更加严厉。古树名木因其重要的历史、文化、科学和景观价值而受到特别保护。根据相关规定，砍伐或擅自迁移古树名木的，未构成犯罪的，将由城市园林绿化行政主管部门责令停止侵害并处以罚款；造成损失的，还需承担赔偿责任。若行为构成犯罪，则将依法追究刑事责任。
六、建议与呼吁
鉴于私自砍伐城市绿化树木的严重后果，我强烈建议市民朋友们严格遵守相关法律法规，不要私自进行砍伐行为。同时，也请大家积极向相关部门举报发现的此类违法行为，共同维护我们的城市绿化环境和生态平衡。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。