当员工起诉公司存在双重用工（这里主要理解为未签订书面劳动合同或未按规定签订无固定期限劳动合同，从而要求双倍工资赔偿的情况）时，公司应按照以下步骤来应对和考虑赔偿问题：
一、核实情况与法律依据
首先，公司需要核实是否存在未与员工签订书面劳动合同，或者未按规定签订无固定期限劳动合同的情况。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，如果公司自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，或者违反规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同，那么公司应当向劳动者每月支付二倍的工资。
核实步骤：
二、检查仲裁时效
根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二十七条，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。公司需要检查员工提出双倍工资赔偿的时间是否已超出这一时效期间。如果员工在离职后一年内未提出仲裁申请（特殊情况如因主张权利、请求权利救济或对方同意履行义务而中断的，从中断时起重新计算；因不可抗力或有其他正当理由中止的，从中止原因消除之日起继续计算），其主张可能因超过时效而不被支持。
三、积极沟通协商
在核实情况和检查时效后，公司应主动与员工进行沟通，了解其具体诉求和原因。通过友好协商，双方可以探讨解决方案，如补签劳动合同、支付一定补偿金等，以避免进一步的法律纠纷。协商过程应形成书面记录，以备后续参考。
四、赔偿考虑与法律辩护
如果协商无果，且公司确实存在未签订书面劳动合同或未按规定签订无固定期限劳动合同的情况，那么公司需要考虑赔偿问题。赔偿金额通常为员工在未签订合同期间应得的工资的双倍（但需注意，双倍工资的计算基数和期限可能因地区和具体案件而有所不同）。
同时，公司应收集相关证据，以证明自身并未违反法律规定或员工的主张已超过时效。这些证据包括但不限于员工入职时间、工资支付记录、劳动合同（如有）、沟通记录等。公司应寻求专业律师的帮助，制定有效的辩护策略，并准备答辩状和证据材料。
五、遵守法律判决
如果最终法院或仲裁机构判决公司需要支付双倍工资赔偿，公司应严格遵守法律判决，及时支付赔偿金。这不仅是履行法律义务的表现，也是维护公司声誉和形象的重要举措。
六、加强内部管理
为避免类似纠纷的发生，公司应加强内部管理，确保遵守劳动法律法规。这包括完善劳动合同签订流程、定期审查劳动合同执行情况、加强员工培训与沟通等。通过加强内部管理，公司可以降低法律风险，维护良好的劳动关系。
综上所述，当员工起诉公司存在双重用工要求双倍工资赔偿时，公司应核实情况、检查时效、积极沟通协商、考虑赔偿与法律辩护、遵守法律判决，并加强内部管理以维护自身合法权益。