结论：因嫖娼被拘留而被单位开除，能否申请劳动仲裁取决于单位解除劳动合同的合法性，若单位解除行为不合法，则可以申请劳动仲裁主张赔偿。
分析如下：
一、单位解除劳动合同的合法性判断
根据《劳动合同法》第三十九条，用人单位可单方解除劳动合同的情形主要包括：
严重违反用人单位的规章制度：这要求规章制度需满足民主程序制定、内容合法合理且公示告知的条件。若单位规章制度明确将“受到行政拘留”列为严重违纪，且该制度通过民主程序制定并公示，则单位可能以此为由合法解除劳动合同。但若规章制度存在瑕疵，如未明确界定“严重违反社会公德”的具体情形，或制定过程未经职工代表大会讨论、未向员工公示，则解除行为可能被认定为违法。
被依法追究刑事责任：嫖娼属于治安管理处罚范畴，不构成刑法上的犯罪行为，因此不能直接适用此条款。单位不能仅凭员工嫖娼被拘留就主张其被追究刑事责任而解除劳动合同。
二、申请劳动仲裁的可能性
若单位解除行为合法：即单位规章制度有效，且员工行为确实构成严重违纪，则单位解除劳动合同的行为合法，员工申请劳动仲裁主张违法解除赔偿金可能不会得到支持。
若单位解除行为不合法：即单位规章制度存在瑕疵，或员工行为未达到严重违纪的程度，或单位解除行为未遵循法定程序（如未事先通知工会），则员工可以申请劳动仲裁，主张单位违法解除劳动合同，并要求支付赔偿金。赔偿金的标准通常为经济补偿的两倍，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
三、司法实践中的考量因素
在司法实践中，法院或仲裁机构在判断单位解除行为是否合法时，还会综合考虑以下因素：
员工行为的影响：若员工行为发生在非工作时间、地点，且未对企业生产经营造成影响，或无证据证明该行为导致客户流失、商誉受损，则单位直接解除劳动合同可能被认定为过度惩戒。
劳动权保障优先：员工已接受行政处罚，承担了相应法律后果。用人单位额外施加解雇处罚，需遵循公平原则，避免违背劳动权保障的优先性。
四、建议
对于员工：若认为单位解除行为不合法，可以积极申请劳动仲裁，主张自己的合法权益。同时，应保留好相关证据，如单位规章制度、解除劳动合同通知、工资单等，以便在仲裁或诉讼中证明自己的主张。
对于单位：应完善规章制度体系，明确列举可解除劳动合同的违纪行为清单，并通过全员签收、培训考试等方式确保制度知悉。在解除劳动合同时，应遵循法定程序，确保解除行为的合法性。
总结：因嫖娼被拘留而被单位开除，能否申请劳动仲裁取决于单位解除劳动合同的合法性。若认为单位解除行为不合法，可以积极申请劳动仲裁主张赔偿。在处理此类纠纷时，建议双方均咨询专业律师，以确保自己的合法权益得到保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。