结论前置：
法律分析：
首先，我们需要明确遗赠的法律性质。遗赠是遗赠人通过遗嘱的方式，将其财产的一部分或全部无偿地赠给国家、社会组织或者法定继承人以外的人的一种民事法律行为。它属于单方民事法律行为，只要遗赠人具有完全民事行为能力，且遗赠内容合法、明确，遗赠即具有法律效力。
针对第一种情况： 如果母亲在生前已经通过合法有效的遗嘱（遗赠）明确表示将其财产赠与特定人（如子女、朋友或其他非法定继承人），并且该遗嘱已经符合法律规定的形式要件（如书面形式、签名、日期等），那么这份遗赠就是有效的。在这种情况下，父亲这边的亲属（如父亲的子女、兄弟姐妹等）并不需要参与公证或签字，因为遗赠是母亲个人的民事法律行为，与父亲这边的亲属无关。
针对第二种情况： 然而，如果遗赠涉及的财产需要通过继承程序来处理（例如，母亲未明确指定遗赠对象，或者遗赠的财产属于夫妻共同财产中母亲的部分，且父亲先于母亲去世，导致部分财产需通过继承程序分配），那么情况就会复杂一些。在这种情况下，可能需要考虑父亲这边亲属的继承权或参与权。但具体是否需要父亲这边亲属的公证或签字，还取决于遗赠的具体内容、财产的性质以及继承法的相关规定。例如，如果母亲遗赠的财产中包含了她与父亲共同所有的财产，且父亲已经去世，那么这部分财产可能需要先通过继承程序进行分割，然后再根据母亲的遗赠进行分配。在这个过程中，可能需要父亲这边亲属的参与或公证，以确保继承程序的合法性和有效性。但这种情况并不常见，且具体处理方式会因案件事实和法律规定而异。
法律建议：
确认遗赠的有效性：首先，需要确认母亲所立的遗嘱（遗赠）是否合法有效。这包括检查遗嘱的形式要件（如书面形式、签名、日期等）是否符合法律规定，以及遗嘱的内容是否明确、合法。
了解财产性质：其次，需要了解遗赠所涉及的财产的性质。如果财产属于母亲个人的财产，那么遗赠就是有效的，无需父亲这边亲属的参与。如果财产属于夫妻共同财产或需要其他法定继承程序来处理，那么可能需要考虑父亲这边亲属的继承权或参与权。
咨询专业律师：由于遗赠和继承问题可能涉及复杂的法律关系和财产权益，因此建议咨询专业律师以获取更准确的法律意见和帮助。律师可以根据具体情况提供个性化的法律建议和解决方案。
可能法律后果：
如果遗赠无效或存在争议，可能会导致财产分配纠纷和法律诉讼。因此，在处理遗赠和继承问题时，务必谨慎行事，并遵循相关法律法规的规定。如果有任何疑问或不确定的地方，建议及时咨询专业律师以获取帮助。
总结：
在大多数情况下，如果母亲的遗赠是合法有效的单方民事法律行为，并且已经明确表示将财产赠与特定人，那么父亲这边的亲属无需参与公证或签字。然而，如果遗赠涉及的财产需要通过继承程序来处理，或者存在其他复杂情况，那么可能需要考虑父亲这边亲属的继承权或参与权。在这种情况下，建议咨询专业律师以获取更准确的法律意见和帮助。