针对“开烧烤店的小工和老板吵架跑了怎么处理”这一问题，核心前提是烧烤店雇佣关系中，员工因争吵离职引发的后续处理问题。结合法律实务，分情况说明如下：

1. 若小工未提前通知直接离职，可能涉及工资结算问题

根据《劳动合同法》第三十七条，劳动者提前三十日（试用期三日）书面通知用人单位方可离职。若小工未履行通知义务直接离开，老板仍需全额支付其已工作期间的工资，但可依据店内规章制度或劳动合同（如有约定）追究其擅自离职造成的损失（如临时缺人导致的经营损失）。
建议：

• 核对工资发放记录，确保无克扣；
  
• 若合同或规章制度明确“擅自离职需赔偿损失”，可收集证据（如招聘替代人员的费用）后协商或诉讼，但赔偿金额需合理（通常不超过实际损失）。

2. 若争吵涉及侮辱、威胁或暴力，可能涉及劳动权益保护

若争吵中老板存在辱骂、威胁甚至肢体冲突，小工可能以“未提供劳动条件”或“被迫解除劳动合同”为由主张权益。根据《劳动合同法》第三十八条，用人单位若存在“侮辱、体罚、殴打”等行为，劳动者可立即解除合同并要求经济补偿（工作每满一年支付一个月工资）。
建议：

• 老板需自查争吵原因，若自身存在过错，应主动沟通道歉，避免被主张补偿；
  
• 若小工已申请劳动仲裁，需准备考勤记录、工资单、争吵现场证据（如监控）等材料应诉。

3. 若小工未办理离职手续，需处理工作交接

若小工未交接工作（如钥匙、客户信息、设备使用方法），导致店铺无法正常运营，老板可依据《劳动合同法》第五十条要求其返回交接，或通过法律途径要求赔偿因未交接造成的损失（如食材浪费、客户流失）。
建议：

• 优先通过电话、短信联系小工要求交接，保留沟通记录；
  
• 若小工拒绝，可暂缓发放最后一个月工资（需留存部分作为交接保证金，但不得超过20%），待交接完成后支付。

4. 若涉及竞业限制或保密义务，需核查合同约定

若小工掌握烧烤店配方、客户名单等商业秘密，且劳动合同中约定了竞业限制或保密条款，其离职后可能需遵守限制（如不得在同城开同类店铺）。若违反，老板可主张违约金。
建议：

• 核查劳动合同是否明确竞业限制范围、期限及补偿标准；
  
• 若无合同约定，竞业限制条款可能无效，需谨慎主张。

总结：老板应优先与小工沟通协商，明确工资结算、工作交接等事项；若协商无果，需根据争吵原因、合同约定及实际损失收集证据，通过劳动仲裁或诉讼解决。如有具体细节（如合同内容、争吵经过），可进一步向我咨询，我会结合证据提供更精准的建议。