核心结论：若店家承诺赠运费险但实际仅支付5元，消费者可依据《消费者权益保护法》及《电子商务法》主张权利，具体处理方式如下：

1. 核查运费险条款
   首先需确认店家宣传的“赠运费险”是否明确约定了赔付金额或计算方式。若宣传页面、订单详情或保险合同中未注明具体金额，则店家可能构成“模糊承诺”；若明确标注了赔付标准（如“最高赔付20元”），但实际仅支付5元，则店家涉嫌违约。
   法律依据：《消费者权益保护法》第二十条，经营者不得作虚假或引人误解的宣传。

2. 与店家协商补差
   若运费险实际赔付金额低于承诺标准，消费者可要求店家补足差额。例如，实际运费为15元，但运费险仅赔付5元，店家应承担剩余10元。协商时需保留宣传截图、订单记录等证据。
   操作建议：通过平台客服或直接联系店家，明确要求按承诺履行，并留存沟通记录。

3. 向平台投诉或申请介入
   若协商无果，可向电商平台投诉（如淘宝、京东等）。平台通常有纠纷处理机制，会要求店家提供运费险合同或解释赔付标准。若店家无法证明其宣传与实际一致，平台可能强制其补差或处罚。
   法律依据：《电子商务法》第六十一条，平台经营者应协助消费者维护合法权益。

4. 向市场监管部门举报
   若店家存在虚假宣传（如宣传“全额赔付”但实际仅赔付5元），可向当地市场监管部门举报。需提供宣传截图、订单记录、运费凭证等证据，监管部门将调查并可能处罚店家。
   操作路径：通过12315平台或当地市场监管局官网提交举报材料。

5. 诉讼途径（极端情况）
   若损失较大（如多次发生类似情况），可向法院起诉店家欺诈或违约，要求赔偿实际运费及合理维权费用。但诉讼成本较高，建议优先通过协商、投诉解决。
   法律依据：《消费者权益保护法》第五十五条，经营者欺诈的，应按消费者要求增加赔偿其受到的损失。

行动建议：

• 优先通过平台投诉或与店家协商，效率较高；
  
• 保留所有宣传、沟通、运费凭证等证据；
  
• 若问题复杂，可直接向我咨询具体处理方案。