员工在工厂内打架，工厂在符合一定条件下可以开除且无需支付经济补偿。但具体是否可以开除且不赔钱，需结合工厂的规章制度、劳动合同以及相关法律法规来综合判断。以下是对此问题的详细分析：
一、工厂规章制度与劳动合同的约定
规章制度的合法性：
- 工厂的规章制度必须合法制定，通常要求经过民主程序（如职工代表大会讨论）并与工会或职工代表平等协商确定，同时需向劳动者公示或告知。
- 若规章制度中明确将打架列为严重违纪行为，并规定了相应的开除条款，且该制度合法有效，则工厂可依据此规定开除涉事员工，且无需支付经济补偿。
劳动合同的约定：
- 劳动合同中也可能对员工的违纪行为及相应的处理措施进行约定。若劳动合同中有明确规定，且该规定不违反法律法规，工厂同样可依据劳动合同开除员工。
二、相关法律法规的规定
《劳动合同法》的相关规定：
- 根据《劳动合同法》，员工严重违反用人单位的规章制度或严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害的，用人单位可以解除劳动合同。
- 因此，即使规章制度未明确规定，但若打架行为严重影响了工厂的正常生产经营秩序或造成了较大损失，工厂仍有可能依据上述法律规定开除员工，且无需支付经济补偿。
打架行为的严重性：
- 打架行为的严重性也是判断工厂是否可以开除员工的重要因素。若打架行为情节轻微，未造成人员伤害和生产经营秩序的破坏，工厂随意开除员工可能构成违法解除劳动合同，需承担相应的法律责任，包括支付赔偿金。
三、不同情况下的处理原则
规章制度有明确规定且合法：
- 若员工打架行为符合规章制度中规定的可开除情形，且规章制度合法有效，工厂可依据此规定开除员工，无需支付经济补偿。
打架行为严重影响生产经营：
- 即使规章制度无明确规定，但若打架行为导致了工厂生产经营秩序的严重破坏或较大经济损失，工厂仍可依据《劳动合同法》的相关规定开除员工，且无需支付经济补偿。但需注意，此时工厂需承担举证责任，证明打架行为与生产经营秩序破坏或经济损失之间的因果关系。
打架情节轻微且无相关规定：
- 若打架情节轻微，未造成人员伤害和生产经营秩序的破坏，且规章制度中无相关规定，工厂随意开除员工可能构成违法解除劳动合同。此时，员工有权要求工厂支付赔偿金，赔偿金的标准通常为经济补偿的两倍。
四、建议与注意事项
调查事实：工厂在处理打架事件时，应首先对事件进行详细调查，确保事实清楚、证据确凿。
依据规定处理：根据工厂的规章制度和相关法律法规，对打架员工进行公正、合理的处理。
通知并解释：正式通知员工开除决定，并向其解释开除的原因、依据及员工的权利和义务。
办理离职手续：按照相关规定为员工办理离职手续，确保双方权益得到妥善保障。
完善规章制度：建议工厂在制定或修订规章制度时，明确打架等违纪行为的处理条款，以便在遇到类似问题时能够有据可依、合理处理。
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