结论前置：私人企业未经国家资公司（这里可能指的是有相关资质或权限的公司，但通常应理解为未经有权机关或特定授权主体）授权刻制工程公章，这一行为是否违法，需根据具体情况来判断，但一般情况下，未经授权擅自刻制公章是违法的，并可能面临一系列法律后果。

一、公章刻制的法律规定

根据我国相关法律法规，公章的刻制需遵循严格的规定。通常，企业刻制公章需要到公安机关指定的刻章点进行，并需提交相关证明材料，如企业营业执照、法定代表人身份证明等。这是为了确保公章的真实性和合法性，防止公章被滥用或伪造。

二、未经授权刻制公章的法律后果

1. 行政处罚：

   • 未经授权擅自刻制公章，可能违反《中华人民共和国治安管理处罚法》等相关规定，面临行政处罚，如罚款、拘留等。

2. 民事责任：

   • 如果因擅自刻制公章而给他人造成损失，如合同纠纷、财产损失等，擅自刻制者可能需要承担民事赔偿责任。

3. 刑事责任：

   • 在极端情况下，如果擅自刻制公章用于诈骗、伪造公文等犯罪活动，还可能构成犯罪，面临刑事追究。

三、特殊情况分析

1. 内部授权问题：

   • 如果私人企业内部有明确的授权流程，但未经外部有权机关（如公安机关）的备案或批准，擅自刻制公章，虽然可能不构成刑事犯罪，但仍可能面临行政处罚和民事责任。

2. 公章使用范围：

   • 即使公章是合法刻制的，但如果超出其使用范围或权限，如用于非法活动或未经授权的合同签署，也可能导致法律责任。

四、建议与措施

1. 合法刻制：

   • 私人企业应严格按照法律法规的规定，到公安机关指定的刻章点刻制公章，并提交相关证明材料。

2. 加强管理：

   • 企业应建立健全公章管理制度，明确公章的使用范围、权限和审批流程，防止公章被滥用或伪造。

3. 及时报案：

   • 如果发现公章被擅自刻制或滥用，企业应及时向公安机关报案，并配合调查处理。

总结来说，私人企业未经授权擅自刻制工程公章是违法的，并可能面临行政处罚、民事责任甚至刑事责任。因此，建议企业严格遵守法律法规的规定，合法刻制并加强公章管理。如果您在公章刻制或使用过程中遇到任何法律问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。