在追逐老人过程中发生意外，处理方式需根据具体情况来定，但通常可以遵循以下几个步骤和原则：

一、立即停止追逐并确保老人安全

1. 停止追逐：一旦发现老人因追逐而可能或已经发生意外，应立即停止追逐行为，避免进一步伤害。
2. 确保安全：迅速检查老人的身体状况，如有必要，立即拨打急救电话（如120）并告知具体情况，以便专业医护人员及时到达现场进行救治。

二、评估责任与承担后果

1. 责任评估：根据意外发生的具体情况，评估各方责任。如果是因追逐者的过失或故意行为导致老人受伤，那么追逐者（或其监护人，如果追逐者是未成年人）应承担相应的法律责任。

   • 例如，若孩童在嬉闹追逐中不慎撞倒老人，导致老人受伤，那么孩童的监护人可能需要承担赔偿责任。这通常依据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定来处理。

2. 承担后果：根据责任评估结果，承担相应的后果。这可能包括支付医疗费用、赔偿损失等。

   • 在实际案例中，如平川区人民法院审结的孩童嬉闹误伤老人案件，法院根据各方责任判定了赔偿比例，并由监护人承担赔偿责任。

三、保险理赔（如适用）

1. 检查保险：如果老人或追逐者（或其家庭）购买了相关保险（如老年人意外险），应检查保险条款以确定是否覆盖此类意外。

   • 例如，湖州市的老年人意外险就覆盖了滑倒、被撞倒等意外情况，并提供了详细的赔付标准和流程。

2. 申请理赔：如果保险覆盖，应按照保险公司的要求准备相关材料并申请理赔。这可能包括医疗证明、事故报告、保险单等。

四、法律途径与调解

1. 法律途径：如果各方对责任承担有争议，且无法通过协商解决，可以考虑通过法律途径解决。这可能包括向法院提起诉讼或申请仲裁。

2. 调解：在法律途径之前或同时，也可以考虑通过调解来解决问题。调解可以由第三方机构（如社区调解委员会、人民调解委员会等）进行，以达成各方都能接受的解决方案。

五、预防与教育

1. 预防措施：为了避免类似意外的再次发生，应采取预防措施。例如，在公共场所设置警示标志、加强安全教育等。

2. 安全教育：对追逐者（尤其是未成年人）进行安全教育，让他们了解追逐行为的危险性和可能导致的后果，从而减少类似意外的发生。

综上所述，处理追逐老人中发生的意外需要综合考虑多个方面，包括确保老人安全、评估责任与承担后果、保险理赔（如适用）、法律途径与调解以及预防与教育。在实际操作中，应根据具体情况灵活应对，并遵循相关法律法规和道德准则。