结论：劳动仲裁裁决书生效后，若对方未执行且未在法定期限内起诉，您可向法院申请强制执行以维护自身权益。以下为详细分析：
一、劳动仲裁裁决书的法律效力
劳动仲裁裁决书自作出之日起即发生法律效力，这意味着裁决书所确定的权利和义务对双方当事人均具有约束力。若对方未在法定期限内（通常是收到裁决书后的15日内）向人民法院提起诉讼，则裁决书即产生强制执行力。
二、对方未执行裁决书的处理方式
申请强制执行：
- 条件：裁决书已生效，且对方未在规定期限内履行义务。
- 流程：您需向有管辖权的人民法院（通常是仲裁委员会所在地的基层人民法院）提交强制执行申请书，并附上裁决书原件及生效证明（如仲裁委员会出具的送达回证等）。
- 效果：法院受理申请后，将依法对被执行人的财产进行查封、扣押、冻结或拍卖等措施，以强制其履行裁决书所确定的义务。
关注对方是否起诉：
- 虽然您提到未收到对方起诉的通知，但为确保万无一失，您仍可通过查询法院立案信息或咨询仲裁委员会等方式，确认对方是否已提起诉讼。
- 若对方确实未起诉，则您可放心申请强制执行；若对方已起诉，则需等待法院判决结果，再根据判决结果采取相应措施。
三、申请强制执行时的注意事项
准备充分材料：
- 确保强制执行申请书内容完整、准确，明确列出申请执行的标的、金额及计算方式等。
- 附上裁决书原件及生效证明，以证明裁决书的法律效力及您的申请执行资格。
关注执行进度：
- 提交申请后，及时与法院联系，了解执行进度及可能遇到的问题。
- 若被执行人提出异议或申请撤销裁决书，您需积极应对，提供相关证据以维护自身权益。
考虑其他救济途径：
- 若强制执行过程中遇到困难或被执行人确无财产可供执行，您可考虑与被执行人协商分期履行或达成和解协议等。
- 在极端情况下，若被执行人拒不履行且情节严重，您还可向公安机关报案，追究其拒不执行判决、裁定罪的刑事责任。
四、法律后果提示
- 对被执行人：若被执行人拒不履行生效裁决书所确定的义务，将面临法院的强制执行措施，包括但不限于财产查封、扣押、冻结及拍卖等。同时，其信用记录也将受到严重影响，可能面临限制高消费、列入失信被执行人名单等后果。
- 对申请人：若您成功申请强制执行并获得执行款项，则您的权益将得到有效维护。若执行过程中遇到困难或问题，您需及时与法院沟通并寻求法律援助。
建议：鉴于您已等待两个月且未收到对方起诉通知，建议您尽快向法院申请强制执行以维护自身权益。在申请过程中，务必准备充分材料并关注执行进度，以确保执行效果。如有任何疑问或需要进一步帮助，请随时向我咨询。