结论前置：当劳务合同（此处应理解为劳动合同，因劳务合同通常不涉及续签问题，更多是完成特定工作）到期未续签但劳动者仍在继续工作时，劳动关系依然存续，且劳动者有权要求用人单位续签合同或主张相关权益。
一、劳动关系是否存续？
劳动关系仍然存续。根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关司法解释，劳动合同期满后，如果用人单位未与劳动者办理终止或续订手续，而劳动者继续在用人单位工作，则双方形成事实劳动关系。这意味着，尽管没有书面合同，但劳动者与用人单位之间的劳动关系依然有效，受劳动法保护。
二、用人单位的法律责任
支付双倍工资差额的风险：
- 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 因此，在劳动合同期满后，如果用人单位未及时续签合同，且劳动者继续工作超过一个月，用人单位可能需要承担支付双倍工资差额的责任。这一责任从合同到期后的第二个月开始计算，最长可支付11个月。
补订无固定期限劳动合同的义务：
- 如果用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同，根据法律规定，视为用人单位已与劳动者订立了无固定期限劳动合同。
- 在这种情况下，用人单位应立即与劳动者补订无固定期限劳动合同，以明确双方的权利和义务。
三、劳动者的权益保障
要求签订书面合同的权利：
- 劳动者有权要求用人单位与其签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。
- 如果用人单位拒绝签订，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
主张双倍工资差额的权利：
- 如前所述，如果用人单位未依法签订书面合同，劳动者有权主张双倍工资差额。
- 这一权利的行使通常受到一定时效限制（如从应签订合同之日起计算一年内），因此劳动者应及时行使权利，避免超过时效。
经济补偿的适用情形：
- 如果用人单位提出不续签合同或降低原劳动合同约定条件续签，而劳动者拒绝的，用人单位应当按照劳动者在本单位的工作年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式为：劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
四、具体应对措施
与用人单位协商：
- 劳动者可以主动与用人单位沟通续签事宜，明确双方的权利和义务。
- 协商内容包括工资待遇、工作岗位、工作时间等条款是否需要调整。
保留证据：
- 在合同到期未续签期间，劳动者应妥善保留考勤记录、工作邮件、工作任务分配等相关证据，以证明劳动关系存续及工作情况。
- 这些证据在后续维权过程中将起到关键作用。
法律途径：
- 如果协商无果，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉，并提交劳动合同、工资支付记录等证据材料。劳动监察部门将调查并责令用人单位限期改正。
- 如果劳动监察部门处理未能解决问题，劳动者可以在一年内向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。需提交仲裁申请书、身份证明及劳动关系证明材料等。仲裁裁决后，如果用人单位不履行裁决，劳动者可以向人民法院申请强制执行。
五、建议与提醒
- 及时沟通：劳动者应主动与用人单位沟通续签事宜，避免因为沟通不畅而导致权益受损。
- 保留证据：在合同到期未续签期间，劳动者应特别注意保留相关证据，以备不时之需。
- 依法维权：如果遇到权益受损的情况，劳动者应及时通过协商、投诉或仲裁等途径维护自身合法权益。
总结：当劳动合同到期未续签但劳动者仍在继续工作时，劳动者的权益依然受到法律保护。劳动者应主动与用人单位沟通续签事宜，并保留好相关证据以备不时之需。若遇到权益受损的情况，应及时通过协商、投诉或仲裁等途径维护自身合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。