可以报案。针对您提出的孩子在学校开运动会被撞伤且找不到肇事者的情况，以下是从不同角度给出的法律分析和建议：
一、报案的法律依据与可行性
法律依据：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，对于扰乱公共秩序、妨害公共安全等行为，公安机关有权进行调查处理。虽然孩子被撞伤可能不直接构成治安案件，但报案有助于公安机关介入调查，寻找肇事者，并可能根据调查结果对肇事者进行相应的处理。
- 同时，如果孩子的伤势构成轻伤或重伤，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，肇事者可能涉嫌故意伤害罪或过失致人重伤罪，需要承担刑事责任。报案是启动刑事诉讼程序的重要一步。
可行性：
- 报案是公民的权利，也是寻求法律帮助和保护的有效途径。在孩子被撞伤且找不到肇事者的情况下，报案有助于公安机关及时介入，通过调查取证等手段寻找肇事者，并维护孩子的合法权益。
二、报案后的处理流程
立即报案：
- 您应尽快向当地公安机关报案，说明孩子被撞伤的情况，包括时间、地点、伤势等关键信息。
配合调查：
- 报案后，您应积极配合公安机关的调查工作，提供可能的线索和证据，如目击者信息、现场照片或视频等。
等待处理结果：
- 公安机关将根据调查结果依法处理。如果找到肇事者，将根据其行为的性质和后果进行相应的处罚；如果未找到肇事者，公安机关也会出具相应的证明，您可据此向学校或相关责任方主张权利。
三、其他法律途径与建议
向学校主张权利：
- 如果孩子是在学校组织的运动会期间被撞伤，且学校未尽到相应的安全管理义务，您可向学校主张赔偿。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，学校作为教育机构，对在校学生负有安全保障义务。
寻求民事赔偿：
- 如果找到肇事者，且其行为构成侵权，您可依法向其主张民事赔偿，包括医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入等。
保留证据：
- 在处理此事过程中，您应妥善保留所有相关证据，如医疗记录、费用单据、目击者证言等，以备后续法律程序之需。
特别提醒：在处理此类事件时，请务必保持冷静和理性，通过合法途径维护孩子的权益。如果您在处理过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。