核心结论：针对在事业单位工作无编制且无法办理退休的情况，您可通过确认劳动关系性质、主张经济补偿或赔偿、要求补缴社保及公积金、申请劳动仲裁或提起诉讼等途径维护自身合法权益。以下为具体分析：

1. 确认劳动关系性质，明确法律适用

• 核心前提：事业单位无编制人员与单位的关系可能分为“劳动关系”或“劳务关系”，法律适用不同。
  • 若符合劳动关系特征（如接受单位管理、从事单位安排的有报酬劳动）：根据《劳动合同法》，您享有劳动者权利，单位应为您缴纳社保、签订劳动合同。若未签订，可主张双倍工资差额；若违法解除劳动关系，可主张赔偿金（2N倍月工资）。
  • 若为劳务关系（如临时性、非全日制工作）：适用《民法典》合同编，单位无需缴纳社保，但需按约定支付报酬。若单位拖欠报酬，可起诉要求支付。
• 行动建议：收集工作证、工资条、考勤记录、工作邮件等证据，证明与单位存在事实劳动关系。若单位否认，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁确认关系。

2. 主张经济补偿或赔偿，解决退休障碍

• 核心前提：无法办理退休可能因单位未缴纳社保或未满足缴费年限。根据《社会保险法》，单位必须为员工缴纳社保，否则需承担补缴责任及滞纳金。
• 若因单位未缴社保导致无法退休：
  1. 要求补缴社保：向社保部门投诉，要求单位补缴在职期间社保（个人部分需自行承担）。
  2. 主张经济损失赔偿：若因无法退休导致养老金损失，可起诉要求单位赔偿（需证明损失金额，如按当地养老金标准计算）。
• 若单位拒绝补缴或赔偿：申请劳动仲裁，仲裁不成的可向法院起诉。

3. 要求补缴住房公积金（如适用）

• 核心前提：根据《住房公积金管理条例》，单位应为职工缴存住房公积金。若未缴存，可向住房公积金管理中心投诉，要求单位补缴。
• 行动建议：携带劳动关系证明、工资记录等材料，向当地住房公积金管理中心提交投诉申请。

4. 申请劳动仲裁或提起诉讼，固定权利

• 核心前提：若与单位协商无果，需通过法律程序维权。劳动仲裁是前置程序，对仲裁结果不服的可向法院起诉。
• 仲裁/诉讼请求：
  • 确认劳动关系；
  • 支付未签劳动合同双倍工资差额；
  • 补缴社保、公积金；
  • 支付经济补偿金或赔偿金；
  • 赔偿因无法退休导致的损失。
• 证据准备：劳动合同（如有）、工资流水、考勤记录、工作邮件、同事证言等。

5. 特殊情形：事业单位编制改革或历史遗留问题

• 核心前提：部分事业单位因改革导致编制调整，可能涉及“老人老办法、新人新办法”政策。若您属于改革前入职但未纳入编制，需核查当地政策文件。
• 行动建议：向单位人事部门或上级主管部门咨询政策，要求按改革方案落实待遇。若单位拒绝，可向人社部门或政府信访部门反映情况。

总结：无编制人员维权需分步骤进行，首先确认劳动关系性质，再根据具体问题主张补偿、补缴社保或提起仲裁/诉讼。建议优先与单位协商，协商不成及时通过法律途径解决。如有进一步问题，可直接向我咨询。