结论：在骑电车未戴头盔撞狗身亡，且狗主人被判定全责的情况下，公司是否需要承担责任及承担多少责任，并非一个简单的问题，它取决于多个因素，包括但不限于事故是否发生在工作时间内、是否与工作相关、公司是否有相关规章制度以及这些制度是否得到妥善执行等。在大多数情况下，如果事故与工作无直接关联，公司可能无需承担责任。
分析：
事故责任判定：
- 已知狗主人被判定为全责，这意味着在交通事故中，狗主人因未妥善管理其宠物（如未拴绳或未采取其他安全措施）导致事故发生，应承担相应的法律责任。
公司责任考量：
- 工作时间与工作相关性：如果事故发生在员工下班后的私人时间，且与工作无直接关联，那么公司通常无需承担责任。反之，如果事故发生在工作时间内，且与工作相关（如员工在执行工作任务时发生事故），则公司可能需要承担一定的责任。
- 公司规章制度：公司是否有关于员工出行安全、佩戴安全防护装备（如头盔）的规章制度，以及这些制度是否得到妥善执行，也是影响公司责任的重要因素。如果公司有明确规定且员工未遵守，公司可能会主张员工自身存在过错，从而减轻或免除其责任。
- 工伤保险与工亡认定：关于工亡的认定，通常需要依据《工伤保险条例》等相关法律法规进行。如果员工因工作原因受到事故伤害或患职业病死亡，且符合工亡认定条件，那么其近亲属可以享受工伤保险待遇。但在此案例中，由于事故责任已被判定为狗主人全责，且未明确提及事故与工作直接相关，因此工亡认定及公司责任需进一步结合具体情况分析。
法律建议：
- 收集证据：对于涉及工亡及公司责任的问题，建议首先收集相关证据，包括事故现场照片、视频、警方报告、医疗记录等，以证明事故的真实情况及责任归属。
- 咨询专业律师：由于此类问题涉及复杂的法律关系和责任判定，建议咨询专业律师进行详细分析。律师可以根据具体情况提供法律意见，并帮助制定应对策略。
- 协商与诉讼：在明确责任归属后，可以尝试与狗主人或公司进行协商，寻求合理的赔偿方案。如果协商无果，可以考虑通过法律途径解决争议。
特殊情况说明：
- 如果公司能够证明其已尽到安全管理义务（如提供安全培训、配备安全防护装备等），且员工未遵守相关规定导致事故发生，那么公司可能会主张减轻或免除其责任。
- 如果事故与工作无直接关联，但公司出于人道主义考虑愿意给予一定补偿，那么这属于公司自主行为，并非法律义务。
总结与建议：
在骑电车未戴头盔撞狗身亡且狗主人被判定全责的情况下，公司是否需要承担责任及承担多少责任需结合具体情况分析。建议首先收集相关证据并咨询专业律师以获取准确的法律意见。同时，保持与狗主人及公司的沟通协商，寻求合理的解决方案。如有任何法律问题，可以直接向我咨询。