针对同事借300元迟迟不还的情况，你可以按照以下步骤处理：
一、优先尝试友好协商
直接沟通：选择一个合适的时机，以平和、友好的态度直接与同事沟通，提醒他关于300元的借款，并表达你当前对这笔资金的需求。这种方式最直接，也最有可能迅速解决问题。
给予宽限期：如果同事表示暂时无法还款，你可以与他协商一个合理的宽限期，并明确还款的具体时间。期间保持沟通，以示理解和关注，这有助于维护同事关系。
二、考虑第三方协助
共同朋友或同事调解：如果直接沟通无果，你可以请与双方关系都较好的共同朋友或同事作为中间人进行调解。这种方式可能更加温和，有助于促使同事还款。
公司内部途径：在公司环境中，如果借款同事具有一定职位或影响力，且直接沟通或第三方调解均无效，你可以考虑向领导或人力资源部门反映情况。但需注意，反映时应客观陈述事实，避免夸大其词或情绪化表达。
三、采取法律手段
收集证据：在决定采取法律手段前，务必收集所有能证明借款事实的证据，包括借条（如果有的话）、聊天记录、转账记录等。这些证据将是你后续维权的重要依据。
发送催款函：基于收集的证据，你可以向同事发出正式书面通知（如邮件或信件），明确列出借款详情及还款要求，并设定一个合理的还款期限。这种方式具有一定的正式性和威慑力。
提起小额诉讼：如果催款函无效，且你愿意为300元投入一定的时间和精力，你可以向法院提起小额诉讼。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，只要符合立案条件（如有明确的被告、具体的诉讼请求和事实理由等），法院就会受理你的案件。在诉讼过程中，你需要提交起诉状和证据材料，并参加庭审。如果法院判决同事还款，而同事仍不履行判决，你可以在规定时间内申请强制执行。
四、注意事项与建议
保持冷静理性：在处理此类问题时，务必保持冷静和理性，避免情绪化冲突。情绪化的行为可能不利于问题的解决，甚至可能破坏同事关系。
权衡诉讼成本：虽然300元的标的额不大，但诉讼过程中仍可能产生一定的费用和时间成本。因此，在决定提起诉讼前，你需要权衡利弊，考虑是否值得为这笔小额借款投入如此多的资源。
尽量降低维权成本：如果可能的话，尽量通过友好协商或第三方调解等方式解决问题，以降低维权成本。这些方式通常更加简便快捷，且有助于维护同事关系。
最后，我想强调的是，无论采取哪种方式处理此类问题，都应确保自己的行为合法合规。 如果在处理过程中遇到任何法律问题或困惑，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况提供专业的法律建议和帮助。