监外执行期间，罪犯对原判罪名有异议并委托律师申诉是完全合法的。以下从多个角度对此问题进行详细分析：

一、申诉权利的法律依据

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，当事人及其法定代理人、近亲属对已经发生法律效力的判决、裁定，有权向人民法院或人民检察院提出申诉。这一权利并未因罪犯处于监外执行状态而受到限制。申诉是刑事诉讼法赋予当事人的重要权利，旨在保障司法公正和当事人的合法权益。因此，监外执行期间的罪犯完全有权对原判罪名提出异议，并通过律师进行申诉。

二、申诉的常见情形

在监外执行期间，罪犯可能基于多种情形对原判罪名提出异议，包括但不限于：

1. 对定罪有异议：认为自己的行为不构成犯罪，或者罪名认定存在错误。例如，可能认为自己的行为属于过失而非故意，或者认为自己的行为并未达到犯罪的程度。
2. 有新的证据：发现新的证据证明原判决、裁定认定的事实确有错误。这些新证据可能包括证人证言、物证、书证等，能够证明罪犯的无罪或罪轻。
3. 证据问题：据以定罪量刑的证据不确实、不充分或存在矛盾。例如，可能认为某些关键证据存在瑕疵或伪造，导致判决结果不公正。
4. 适用法律错误：原判决、裁定适用法律确有错误。例如，可能认为法院在适用法律时未考虑相关法律规定或司法解释，导致判决结果不当。

三、申诉的程序和要求

1. 申诉的提出：罪犯可以自行或通过其法定代理人、近亲属以书面形式向人民法院或人民检察院提出申诉。申诉书应详细说明申诉理由和依据，并附上相关证据材料。如果罪犯选择委托律师进行申诉，律师将协助罪犯准备申诉材料，并代表罪犯向司法机关提出申诉。
2. 申诉的受理和审查：人民法院或人民检察院将对申诉材料进行审查。如果申诉符合法定条件，将依法立案受理，并对案件进行重新审查。审查过程可能包括听取申诉人陈述、调查核实证据、进行听证等程序。在审查过程中，司法机关将充分考虑罪犯的申诉理由和证据，确保判决结果的公正性和合法性。

四、申诉的法律后果

1. 申诉成功：如果申诉成功，原判决或裁定可能被撤销或变更。这将导致罪犯的监外执行状态发生变化，可能包括收监执行、变更罪名或量刑等。因此，罪犯在提出申诉前应充分评估申诉的可能结果，并做好相应的准备。
2. 申诉不成功：如果申诉不成功，原判决或裁定将继续有效。罪犯应继续遵守监外执行的相关规定，并积极配合司法机关的监督和管理。同时，罪犯也可以考虑通过其他途径维护自己的合法权益，如申请再审或提起国家赔偿等。

五、律师在申诉过程中的作用

在申诉过程中，律师可以发挥以下作用：

1. 提供法律咨询：律师可以为罪犯提供专业的法律咨询，帮助罪犯理解申诉的权利和程序，以及申诉可能带来的法律后果。
2. 准备申诉材料：律师可以协助罪犯准备申诉材料，包括申诉书、证据材料等。律师将确保申诉材料的完整性和准确性，提高申诉的成功率。
3. 代表罪犯申诉：律师可以代表罪犯向司法机关提出申诉，并代表罪犯参加申诉过程中的相关活动。律师将运用自己的专业知识和经验，为罪犯争取最大的合法权益。

总结来看，监外执行期间的罪犯对原判罪名有异议并委托律师申诉是完全合法的。罪犯应充分了解自己的申诉权利和程序，并在必要时寻求律师的帮助。同时，罪犯也应做好申诉可能带来的法律后果的准备，并积极配合司法机关的监督和管理。如果有任何法律问题，可以直接向我咨询。