当案件终结后，案外人提出申请执行异议时，这是一个涉及法律程序和权益保护的重要问题。以下是对此问题的详细解答：
一、异议申请的审查流程
形式审查：
- 法院在接收到案外人的异议申请后，会首先进行形式审查。这包括检查异议申请是否符合法定形式要求，如是否明确提出了异议请求、提供了相关的事实和理由，以及是否附带了必要的证据材料。
- 案外人需要证明其对执行标的享有某种权利，如所有权、担保物权等，这是提出异议的基本资格要求。
实质审查：
- 在形式审查通过后，法院会进行实质审查，深入探究异议涉及的实体问题。这主要是判断案外人是否对执行标的享有足以排除强制执行的权益。
- 例如，在涉及房屋执行的案件中，法院会核实案外人是否在法院查封前已签订合法有效的房屋买卖合同、是否已支付全部价款、是否实际占有房屋，以及是否对未办理过户登记无过错。
二、不同情况的处理结果
异议成立：
- 如果案外人对执行标的享有足以排除强制执行的权益，法院将裁定中止对该标的的执行。
- 举例来说，如果案外人能提供充分证据证明在法院执行前已通过合法买卖取得房产所有权，但尚未完成过户手续，法院可能会裁定中止对该房产的执行。
异议不成立：
- 如果案外人对执行标的不享有足以排除强制执行的权益，法院将裁定驳回异议。
- 例如，如果案外人仅口头声称对执行标的有权利，但无法提供有效证据支持其主张，法院通常会驳回其异议。
特殊情况处理：
- 执行依据可能错误需再审：如果案外人的异议与原判决、裁定有关，且认为原判决、裁定存在错误，同时法院初步审查也认为确有错误，那么将按照审判监督程序启动再审。
- 举例来说，如果原判决在财产归属认定上存在错误，导致案外人的合法权益受损，经法院审查确认后，将启动再审程序。
- 执行依据无误进行执行异议之诉：如果案外人的异议与原判决、裁定无关，案外人可以在裁定送达之日起十五日内提起执行异议之诉。
- 在此诉讼中，案外人作为原告需要提供证据证明其对执行标的享有足以排除强制执行的权益。法院将根据双方提供的证据和庭审情况作出判决。
特殊情形的另行起诉：
- 根据相关法律规定，在某些特定情形下，案外人应另行起诉而非提起执行异议。这主要包括案外人对执行标的主张确权，且该权利主张与作为执行依据的生效裁判相冲突；或者执行标的物为特定动产或其他物权、股权，案外人对执行标的主张权利且能够阻却执行，且另一案件作出的裁判与执行法院生效裁判冲突。
三、总结与建议
执行完毕后案外人提出异议的处理方式需根据具体情况而定。在一般情况下，应遵循“一事不再理”原则，通过新的诉讼或再审程序来处理。但在特定情形下，案外人也可以直接提出执行异议或执行异议之诉。由于法律程序复杂且涉及权益重大，建议案外人在提出异议前咨询专业法律人士或机构，以确保其合法权益得到妥善维护。