核心结论：全责方在交通事故私了后不配合且通过保险代位追偿的情况下，可能面临行政处罚、民事赔偿及信用惩戒等后果，具体需结合其行为性质和后果综合判定。以下是详细分析：
1. 行政处罚：交通违法行为的直接后果
若全责方在事故中存在逃逸、无证驾驶、酒驾等违法行为，即使私了后不配合，交警部门仍可依据《道路交通安全法》对其处罚：
关键点：行政处罚与是否私了无关，仅取决于事故中的违法行为。
2. 民事赔偿：保险代位追偿的法律依据
若全责方未履行赔偿义务，无责方可通过保险代位追偿（即由己方保险公司先行赔付，再向全责方追偿）。此时全责方可能面临：
法律依据：《保险法》第60条、《民法典》第1213条（机动车交通事故责任）。
3. 刑事责任：仅在构成犯罪时触发
若全责方行为构成交通肇事罪（如致人重伤/死亡且负主责），即使私了后不配合，仍可能被追究刑事责任：
关键点：刑事责任与私了无关，仅取决于事故后果的严重性。
4. 保险拒赔风险：全责方的额外损失
若全责方存在故意制造事故、酒驾、无证驾驶等保险免责情形，其保险公司可能拒绝赔付，导致全责方需自行承担全部赔偿。
建议行动：
温馨提示：交通事故处理需以法律程序为准，私了协议若未明确赔偿细节，可能存在后续纠纷风险。如有具体案件细节，可进一步向我咨询，我会结合证据为您分析最优解决方案。