检察院同意公安机关申请撤回移送审查起诉案件的法律依据，主要来源于《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释。以下是对此问题的详细解答：
一、法律依据概述
《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条：
- 该条款明确规定了不追究刑事责任的情形，包括情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪的；犯罪已过追诉时效期限的；经特赦令免除刑罚的；依照刑法告诉才处理的犯罪，没有告诉或者撤回告诉的；犯罪嫌疑人、被告人死亡的；以及其他法律规定免予追究刑事责任的。在公安机关申请撤回移送审查起诉时，若案件符合上述情形之一，检察院有权同意撤回。
《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百七十五条：
- 人民检察院审查案件时，对于需要补充侦查的，可以退回公安机关补充侦查，也可以自行侦查。对于补充侦查的案件，应当在一个月以内补充侦查完毕。补充侦查以二次为限。补充侦查完毕移送人民检察院后，人民检察院重新计算审查起诉期限。对于二次补充侦查的案件，人民检察院仍然认为证据不足，不符合起诉条件的，应当作出不起诉的决定。虽然该条款未直接提及“撤回移送起诉”，但明确了检察院在审查起诉阶段的权力及补充侦查的程序，为公安机关申请撤回移送审查起诉提供了间接的法律依据。即，在补充侦查后，若检察院认为证据仍不足，不符合起诉条件，可以作出不起诉决定，这实际上也终止了公诉程序，与撤回移送起诉有相似之处。
《人民检察院刑事诉讼规则》及相关司法解释：
- 这些规定对公安机关移送起诉后，检察院如何审查、如何处理（包括可能的不起诉决定）以及公安机关在此过程中的配合义务等进行了详细规定。例如，《人民检察院刑事诉讼规则》中明确，发现犯罪嫌疑人没有违法犯罪行为的，或者犯罪事实并非犯罪嫌疑人所为的，应当书面说明理由将案卷退回公安机关处理。这实际上也允许了公安机关在特定情况下撤回移送审查起诉。
二、公安机关申请撤回移送审查起诉的具体情形
犯罪嫌疑人没有犯罪行为：
- 若公安机关在移送起诉后发现犯罪嫌疑人实际上没有实施犯罪行为，或者犯罪事实并非犯罪嫌疑人所为，可以主动向检察院申请撤回移送审查起诉。
证据不足或证据发生变化：
- 若在审查起诉阶段，公安机关或检察院发现案件证据不足，或者证据发生变化导致不符合起诉条件，也可以申请撤回移送审查起诉。
其他法定情形：
- 包括犯罪已过追诉时效期限、经特赦令免除刑罚、依照刑法告诉才处理的犯罪没有告诉或撤回告诉、犯罪嫌疑人或被告人死亡等法定不追究刑事责任的情形。
三、检察院同意撤回的程序与要求
程序启动：
- 公安机关在发现符合撤回移送审查起诉的情形时，应向检察院提出书面申请，并说明撤回的理由和依据。
检察院审查：
- 检察院在收到公安机关的撤回申请后，应进行审查。认为符合法定撤回情形的，应同意撤回；认为不符合的，应作出不准许撤回的决定。
后续处理：
- 若检察院同意撤回，应制作撤回起诉决定书，并通知公安机关。公安机关在收到决定书后，应按照决定书的要求进行后续处理，如释放被羁押人、解除查封扣押等。
总结来看，检察院同意公安机关申请撤回移送审查起诉案件的法律依据主要来源于《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条、第一百七十五条以及《人民检察院刑事诉讼规则》等相关司法解释。在实际操作中，若案件符合法定不追究刑事责任的情形，或者证据不足、证据发生变化导致不符合起诉条件，公安机关可以主动向检察院申请撤回移送审查起诉。检察院在收到申请后，应进行审查并作出决定。若您在此方面有进一步的疑问或需要具体的法律帮助，请直接向我咨询。