服刑罪犯监外执行主要由社区矫正机构负责管理，具体执行和监督工作涉及多个部门。以下是详细解答：

一、监外执行的管理部门

1. 社区矫正机构：这是监外执行的主要管理部门，负责执行暂予监外执行的决定，并对罪犯进行日常管理和监督。社区矫正机构通常包括基层人民法院、公安机关和司法行政机关的相关部门。

2. 基层组织和原单位：在监外执行过程中，基层组织（如居委会、村委会）或罪犯的原所在单位也会协助社区矫正机构进行监督，确保罪犯遵守相关规定，接受改造。

二、监外执行的决定部门

监外执行的决定可能由以下部门作出：

1. 人民法院：在判决时，如果法院认为罪犯符合监外执行的条件，可以直接决定暂予监外执行，并制作《暂予监外执行决定书》。

2. 监狱管理部门：对于在服刑期间具备监外执行条件的罪犯，监狱管理部门会提出书面意见，并报请省、自治区、直辖市监狱管理机关批准。

3. 看守所或拘役所：在看守所、拘役所服刑的罪犯需要暂予监外执行的，由看守所或拘役所提出书面意见，报主管的县级以上公安机关审查决定。

三、监外执行的具体流程

1. 提出申请：罪犯或其家属、监狱管理部门等可以向相关机关提出监外执行的申请。

2. 审查决定：相关机关（如人民法院、监狱管理部门、看守所或拘役所）会对申请进行审查，并根据罪犯的实际情况和法律规定作出是否暂予监外执行的决定。

3. 执行与监督：一旦决定暂予监外执行，社区矫正机构会负责执行，并对罪犯进行日常管理和监督。同时，基层组织和原单位也会协助进行监督。

4. 收监与释放：如果监外执行的情形消失且刑期未满，或者罪犯违反相关规定，原作出暂予监外执行决定的机关会及时作出收监执行的决定。如果罪犯在监外执行期间刑期届满，原关押监狱等执行机关会办理释放手续。

四、注意事项

• 罪犯在监外执行期间必须遵守相关规定，接受监督改造。
• 基层组织和原单位应积极协助社区矫正机构进行监督工作。
• 如果发现罪犯有违反规定的行为或情形，应及时向相关机关报告。

举例说明：假设某罪犯因严重疾病需要保外就医，监狱管理部门认为其符合监外执行的条件，于是提出书面意见并报请省监狱管理机关批准。批准后，该罪犯由社区矫正机构负责执行监外执行，并由基层组织或其原所在单位协助进行监督。在监外执行期间，该罪犯必须遵守相关规定，接受改造。如果其病情好转或违反规定，原作出决定的机关可能会及时作出收监执行的决定。

建议：如果您或您身边的人涉及监外执行的问题，建议及时咨询专业律师或相关机关，以确保合法权益得到保障。如果有任何法律问题，可以直接向我提问，我会尽力为您提供帮助。