当遇到地方性法规和部门规章之间出现冲突时，我们需要依据一系列明确的法律原则和规则来处理这一法律适用问题。以下是对此问题的详细解答：
一、法律地位与效力层级
首先，我们要明确地方性法规和部门规章在法律体系中的地位和效力层级。在我国，宪法具有最高的法律效力，其次是法律，然后是行政法规、地方性法规、部门规章等。地方性法规由地方人大或其常委会根据本地实际情况制定，而部门规章则是由国务院所属部门制定的规范性文件。
二、具体处理规则
交由国务院提出意见： 根据《中华人民共和国立法法》的相关规定，当地方性法规与部门规章对同一事项的规定不一致时，应由国务院提出意见。如果国务院认为应当适用地方性法规，则决定在该地方适用地方性法规；如果认为应当适用部门规章，则应提请全国人民代表大会常务委员会裁决。
上位法优于下位法： 在法律体系中，上位法的效力高于下位法。因此，如果部门规章是依据法律或行政法规制定的，而地方性法规与之冲突，原则上应优先适用部门规章。但需注意，地方性法规若基于本地特殊情况或实际需要且不违背上位法基本原则作出的特别规定，在本地范围内有效。
新法优于旧法： 对于同一机关就同一事项在不同时间制定的法规，新制定的法规将取代旧的法规。这一原则同样适用于地方性法规和部门规章之间的冲突。
特别法优于一般法： 针对同一事项但内容有所不同的特别法和一般法，特别法的规定将优先于一般法。如果地方性法规或部门规章中有一方是针对特定事项作出的特别规定，而另一方是一般性规定，则应优先适用特别规定。
三、协商解决与裁决机制
在实际操作中，若出现无法直接判断哪个法规应优先适用的情况，或双方对法规适用存在争议，可通过以下方式解决：
协商： 相关方可以尝试通过协商达成一致意见，确定应适用的法规。
请示上级机关： 如果协商无果，可以向上级机关请示，寻求其指导和裁决。
提请有关机关进行裁决： 根据《立法法》的规定，可以提请国务院或全国人民代表大会常务委员会进行裁决。
四、实际应用中的注意事项
在处理具体案件时，应结合案件事实和法律条文的具体规定进行全面分析和判断。首先明确地方性法规和部门规章的法律地位和效力层级，然后依据上述处理规则进行逐一比对和分析，最终确定应适用的法律规范。这一过程需要严谨的法律逻辑和深厚的法律知识支撑，以确保法律的正确适用和统一实施。
综上所述，处理地方性法规和部门规章的冲突是一个复杂而细致的过程，需要我们综合运用法律知识、法律原则和裁决机制来确保法律的正确适用。