针对您提出的“第一次劳动合同到期后未签订劳动合同怎么赔偿”的问题，这确实是一个涉及劳动者权益的重要议题。下面，我将根据相关法律法规，为您详细解析不同情形下的补偿与责任。
一、用人单位不续签劳动合同的情形
经济补偿支付：
- 当劳动合同到期，且用人单位主动选择不续签时，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位需要向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿的标准是按照劳动者在本单位的工作年限来计算，每满一年支付一个月工资。如果工作六个月以上但不满一年，按一年计算；不满六个月的，则支付半个月工资作为经济补偿。这里的月工资指的是劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
特殊情形下的赔偿：
- 如果劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件（如连续工作满十年等），而用人单位拒绝续签，则可能被视为违法终止劳动合同。在此情况下，用人单位需要支付的赔偿金是经济补偿标准的二倍。
二、用人单位疏忽未续签但劳动者继续工作的情形
- 如果劳动合同到期后，用人单位因疏忽未及时续签，但劳动者仍然继续工作，那么根据法律规定，自用工之日起超过一个月不满一年，用人单位需要每月支付二倍工资给劳动者（这包括正常工作时间的工资以及额外的一倍工资作为补偿）。
- 如果用人单位自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，则视为双方已经订立了无固定期限劳动合同。虽然此时不再支付双倍工资，但用人单位仍需承担相应的法律责任。
三、劳动者不续签劳动合同的情形
- 如果用人单位提出维持或提高劳动合同条件来续签，但劳动者选择不续签，那么根据法律规定，用人单位无需向劳动者支付经济补偿。
四、维权建议与注意事项
协商与沟通：
- 首先，我建议您与用人单位进行友好协商，要求补签劳动合同并协商解决赔偿事宜。这往往是最直接、最有效的解决方式。
法律途径维权：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉，或者提起劳动仲裁申请来维护自己的合法权益。在维权过程中，请确保您有充分的证据来支持您的主张。
证据收集与保留：
- 在主张权利的过程中，您需要妥善收集和保留相关证据，如工作记录、工资单、考勤记录等。这些证据将在维权过程中发挥关键作用。
及时维权：
- 请注意，您应在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内申请劳动仲裁，以避免超过时效而丧失索赔权。
综上所述，劳动合同到期后未续签的补偿与责任需根据具体情况来分析。无论是劳动者还是用人单位，都应充分了解相关法律法规，确保自身权益不受损害。在遇到问题时，请及时采取合适的维权措施来维护自己的合法权益。