结论前置：父亲摔倒不送医院在家等着自然死亡，是否需要承担责任，需根据具体情况来判断，主要涉及是否构成遗弃罪或故意杀人罪（间接故意）的认定，以及是否存在民事上的侵权责任。以下从刑事和民事两个角度进行详细分析：
刑事角度
遗弃罪：
- 构成要件：根据《中华人民共和国刑法》第二百六十一条，遗弃罪是指对于年老、年病、或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。
- 分析：若父亲因摔倒而失去独立生活能力，子女作为扶养义务人，有义务将其送医治疗。若子女故意不送医，且情节恶劣（如长期忽视、拒绝提供必要的生活和医疗条件等），则可能构成遗弃罪。但单纯的不送医行为，若未达到情节恶劣的程度，一般不构成遗罪。
故意杀人罪（间接故意）：
- 构成要件：故意杀人罪是指故意非法剥夺他人生命的行为。间接故意是指行为人明知自己的行为可能发生危害社会的结果，并且放任这种结果发生的心理态度。
- 分析：若子女明知父亲摔倒后可能因未及时救治而死亡，却故意不送医，且对死亡结果持放任态度，则可能构成故意杀人罪（间接故意）。但这种情况较为极端，需要具体证据来证明子女的故意心态。
民事角度
- 侵权责任：
- 构成要件：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵权责任是指行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
- 分析：若子女因不送医导致父亲死亡，且该行为与死亡结果之间存在因果关系，子女可能因未尽到扶养义务而承担民事上的侵权责任。但这种情况下的责任承担，通常需要结合具体案情和证据来判断，如子女的经济能力、父亲的健康状况、摔倒后的紧急情况等。
综合建议
- 及时送医：无论从刑事还是民事角度，子女在父亲摔倒后都应尽快将其送医治疗，以尽到扶养义务和避免可能的法律责任。
- 收集证据：若因特殊原因无法及时送医，应尽可能收集相关证据（如医疗记录、证人证言等），以证明自己已尽到合理努力。
- 咨询专业律师：若涉及法律纠纷或可能面临法律责任，建议及时咨询专业律师，以便根据具体情况制定合适的法律策略。
最后，每个家庭的情况都是独特的，法律问题的解决也需要结合具体案情和证据。若您或您身边的人遇到类似问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。