当同一个案件双方都提出上诉（或起诉，此处根据上下文理解为双方均启动法律程序）时，法院会依据实际情形和法律规定进行妥善处理。以下是对这一情况的详细解答：
一、法院的处理原则
立案审查与合并审理：
- 法院首先会进行立案审查，若发现是同一个案件，便有可能进行合并审理。合并审理的目的是为了避免重复劳动，提升司法效率，并节省司法资源。
“先立案先处理”原则：
- 在多个法院或同一法院的不同部门收到针对同一案件的起诉时，通常遵循“先立案先处理”的原则。即先立案的法院或部门将获得案件的审理权限，后立案的则需等候或移送。
指定管辖：
- 若起诉法院级别不同，或存在其他管辖权争议，通常由上级法院指定管辖。在特殊情况下，也可能由共同上级法院指定。
二、合并审理的具体流程
审查起诉条件：
- 双方各自起诉时，都应符合起诉条件，包括有明确的被告、具体的诉讼请求和事实理由等，并向有管辖权的法院提交起诉状和相关证据。
合并审理的裁定：
- 法院在受理一方起诉后，若发现另一方就同一个案件也起诉了，会审查是否符合合并审理条件。若符合，会通过裁定将两案合并，确定一个统一的审理程序。
重新明确原、被告身份：
- 在合并审理中，原、被告身份会根据各自诉求重新明确。这有助于法庭更清晰地理解双方的主张和争议焦点。
全面审查与裁决：
- 法庭会全面审查双方的主张和证据，依据法律作出公平的裁决。双方务必积极配合法院的审理工作，如实提供真实、有效的证据与陈述。
三、当事人的权利与义务
提供证据与陈述：
- 双方都有义务如实提供与案件相关的证据和陈述，以支持自己的主张。
遵守法庭秩序：
- 在庭审过程中，双方应遵守法庭秩序，尊重法官和对方当事人，不得进行扰乱法庭秩序的行为。
接受裁决并履行义务：
- 无论裁决结果如何，双方都应接受并履行法院的裁决。若对裁决有异议，可依法提出上诉或申请再审。
四、特殊情况的处理
反诉的合并审理：
- 若一方起诉后，另一方在答辩期内提出反诉，且反诉与本诉有牵连关系，法院会将反诉与本诉合并审理。
不同法院管辖的处理：
- 若双方起诉分属不同法院管辖，先立案的法院会继续审理，后立案的法院应将案件移送给先立案的法院。法院会综合考量案件情况，统一裁判，以保障当事人合法权益及司法公正。
五、建议与注意事项
咨询专业律师：
- 在面对复杂的法律程序时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。
保留相关证据：
- 双方都应妥善保留与案件相关的所有证据，以备法庭审查之需。
关注案件进展：
- 双方都应密切关注案件的进展情况，及时了解法院的裁决和后续流程。
综上所述，当同一个案件双方都提出上诉（或起诉）时，法院会依据实际情形和法律规定进行妥善处理。双方应积极配合法院的审理工作，如实提供证据与陈述，并遵守法庭秩序和裁决结果。