结论是：如果案件最终不立案，公安机关应当给嫌疑人（或报案人）出具书面的不予立案通知书。下面我从几个角度详细解释这个问题：

一、公安机关的立案流程与时间限制

根据公安部的相关规定以及实践中的操作规范，公安机关在接到报案后，会进行初步的调查和审查。这个过程有时间限制：

• 普通案件：3天内得决定立不立案；
• 稍微复杂点的案件：7天内给结果；
• 特别难查的案件：最多能拖到30天（但需要领导批准）。

在这个时间内，公安机关需要决定是否立案，并且无论决定立案还是不立案，都需要给出书面的通知。

二、不立案时的书面通知义务

如果公安机关决定不立案，必须给报案人或嫌疑人出具书面的不予立案通知书。这个通知书上需要写清楚为什么不立案，比如是因为证据不足、事实不清，还是因为不构成犯罪等。这是公安机关的法定义务，也是保障报案人或嫌疑人知情权的重要措施。

三、如果不给书面通知怎么办？

如果公安机关没有给出书面的不予立案通知书，你可以采取以下措施：

1. 找检察院“撑腰”：

   • 准备材料：报案回执、证据（照片、聊天记录等）、与警察的对话录音（如果有的话）。
   • 写一份《立案监督申请书》，说明情况：“我报了案，警察既不立案也不给不立案通知，麻烦检察院监督一下”。
   • 交到当地检察院的“控告申诉部门”。检察院收到后，会在7天内让警察说明不立案的理由。如果检察院觉得警察没道理，会直接发通知让他立案。

2. 向公安机关内部投诉：

   • 你可以打110投诉，说明情况：“我在XX派出所报案，民警不给不立案通知，麻烦你们督促一下”。
   • 或者直接去公安局的法制科投诉，他们会督促派出所整改。

3. 先拿到“不立案通知”，再走复议、复核：

   • 如果公安机关最终给了你“不予立案通知书”，但你觉得理由不充分，还可以在收到通知书7天内，去作出决定的派出所申请“复议”。
   • 如果复议后还是不立案，7天内再去找派出所的上一级公安局申请“复核”。

四、实际案例与注意事项

在实际操作中，有些公安机关可能会因为各种原因（比如工作繁忙、疏忽等）没有及时给出书面的不予立案通知书。这时候，你一定要坚持自己的权利，通过上述途径来维护自己的合法权益。

注意事项：

• 录音很重要。跟警察的每一次对话都录下来（不用偷偷录，光明正大录，这是你的权利），他敢说“不用给通知”，录音就是证据。
• 别去闹，别上访。吵架、堵门不仅没用，还可能被按“扰乱秩序”处理。咱用法律武器，比啥都硬气。

最后，我想说的是，公安机关办案有规矩，咱老百姓维权也有途径。只要你按上述步骤来，不管是立案还是要个“不立案通知”，都不是难事。如果你还有其他问题或需要进一步的法律帮助，随时都可以向我咨询。