小区楼下私自烧烤是违法的，或者至少是不被允许的。具体分析如下：

1. 违反小区管理规约：

   • 大多数小区的管理规约或业主大会议事规则中，都会明确规定禁止在小区公共区域进行可能影响公共安全、环境卫生的行为，烧烤活动往往会产生油烟、噪音等污染，且存在安全隐患，因此通常被明确禁止。

2. 违反物业服务合同：

   • 业主与物业公司签订的物业服务合同中，物业公司负有对小区环境、秩序进行维护的职责。私自烧烤行为可能扰乱小区秩序，影响环境卫生，物业公司有权依据合同进行管理，甚至要求停止烧烤行为。

3. 安全管理需要：

   • 烧烤活动涉及明火使用，极易引发火灾等安全事故。在人员密集的小区环境下，这种行为对居民的生命财产安全构成严重威胁。因此，从安全管理的角度出发，物业公司也有责任制止私自烧烤行为。

4. 法律责任：

   • 如果私自烧烤行为导致火灾、环境污染等严重后果，烧烤者可能需要承担相应的法律责任，包括民事赔偿、行政处罚甚至刑事责任。

综上所述，小区楼下私自烧烤不仅违反小区管理规约和物业服务合同，还存在严重的安全隐患。因此，建议居民在进行烧烤活动前，先与物业公司沟通并了解其相关要求和限制，选择合规、安全的烧烤方式。如果物业公司明确禁止在小区内烧烤，居民应遵守规定，避免引发不必要的纠纷和法律后果。