如果在免费的公共停车位上您的车被刮蹭了，您可以按照以下步骤来处理这个问题：

一、保护现场并收集证据

首先，发现车辆被刮蹭后，请不要立即挪动车辆，尽量保留好现场情况。这有助于后续判断事故责任以及为可能的法律程序提供证据。您可以拍照留存刮痕的位置、程度以及周围环境等情况，确保照片清晰反映现场全貌和细节。

二、查看停车场监控

接下来，查看停车场内是否有监控设备。如果有，应及时联系停车场管理方，要求他们协助调取监控录像。通过监控录像，您可能能够确定刮蹭车辆及相关责任人，这是后续协商赔偿或报警处理的重要依据。

三、报警处理

如果通过监控无法找到责任人，或者刮蹭情况较为严重，您应及时向当地公安机关报案。向警方详细描述事故发生的时间、地点、车辆受损情况等信息，并配合警方进行调查。警方会进行备案处理，并可能协助您进一步查找责任人。

四、联系保险公司

同时，您应向自己的保险公司报案，告知事故情况。保险公司会安排定损员对车辆进行定损，确定维修费用。在理赔时，您需要提供相关材料，如事故证明、车辆行驶证、驾驶证等。根据保险条款，您可能能够获得一定的赔偿。

五、与停车场管理方协商

如果停车场管理方存在过错，如管理不善导致车辆被刮等，您应与他们协商赔偿事宜。根据法律规定，管理方可能需要承担相应的赔偿责任。如果管理方无过错，但您认为他们应该提供一定的帮助或补偿，也可以尝试与他们进行协商。

六、考虑其他途径

如果与责任方或停车场管理方在赔偿问题上无法达成一致，您可以考虑通过申请调解或诉讼方式来维护自己的合法权益。在此过程中，请务必保留好所有相关证据和沟通记录，以便后续维权。

七、加强自我防范

为了避免类似情况再次发生，建议您在停车时尽量选择光线好、监控覆盖范围广的位置。同时，可以考虑安装一些防护装置，如车衣、停车锁等，以降低车辆被刮蹭的风险。

希望以上建议能够对您有所帮助。在整个处理过程中，请保持冷静和理性，依法维护自己的权益。