结论前置：在双方都有责任且对方拒赔的情况下，可以尝试让我方保险公司进行垫付，但能否垫付取决于保险合同的具体约定以及事故的性质。以下是对此问题的详细分析：

1. 保险合同约定：

   • 首先，需要查阅我方所购买的保险合同，特别是关于“垫付”或“先行赔付”的条款。不同的保险公司和不同的保险产品，对于垫付的规定可能有所不同。
   • 如果合同中明确规定了在特定情况下（如双方都有责任且对方拒赔）保险公司可以进行垫付，那么就可以依据合同条款向保险公司提出垫付申请。

2. 事故性质与责任划分：

   • 双方都有责任的事故，通常意味着事故的发生与双方的行为都有关。在这种情况下，责任的划分可能比较复杂，需要依据相关的交通法规或民事法律进行判定。
   • 如果事故责任已经明确划分，且我方承担部分责任，而对方拒赔，那么可以尝试与保险公司沟通，看是否可以基于我方承担的责任部分进行垫付。

3. 垫付的申请与审批流程：

   • 如果决定向保险公司申请垫付，需要按照保险公司的要求准备相关的申请材料，如事故认定书、医疗费用发票、保险单等。
   • 提交申请后，保险公司会进行审批。审批过程中，保险公司可能会要求提供更多的证据或信息来支持垫付申请。
   • 如果审批通过，保险公司会按照约定的方式（如直接支付给医院或赔偿给我方）进行垫付。

4. 注意事项与风险：

   • 在申请垫付前，需要确保所提供的所有信息和证据都是真实、准确、完整的。任何虚假或误导性的信息都可能导致垫付申请被拒绝或引发法律纠纷。
   • 即使保险公司同意垫付，也可能存在垫付金额有限制、需要后续追偿等情况。因此，在申请垫付前，需要充分了解保险公司的垫付政策和流程。

建议：在处理此类问题时，建议首先与我方保险公司进行沟通，了解保险合同中关于垫付的具体约定以及申请垫付的流程和所需材料。同时，也可以考虑咨询专业的法律人士，以获取更全面、准确的法律建议。如果有任何法律问题，可以直接向我咨询。