您可以要求房东补签这段时间的租赁合同。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、法律背景与依据
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，租赁期限六个月以上的，应当采用书面形式。当事人未采用书面形式，无法确定租赁期限的，视为不定期租赁。在您的情况下，虽然原租赁合同到期后未续签，但您继续支付房租且房东接受，这实际上形成了一个不定期租赁关系。然而，为了明确双方的权利和义务，避免未来可能出现的纠纷，补签书面合同是非常有必要的。
二、补签合同的可能性与操作
双方协商：首先，您可以与房东进行友好协商，说明补签合同的重要性和必要性。在协商过程中，您可以提出补签合同的具体条款和内容，如租赁期限、租金支付方式、房屋使用规定等。
合同内容：补签的合同应当明确租赁期限（即您实际支付的6月至9月这段时间）、租金金额及支付方式、房屋的使用规定、维修责任等关键条款。这些条款应当与您之前的租赁合同保持一致或根据实际情况进行适当调整。
书面形式：补签的合同应当采用书面形式，并由双方签字或盖章确认。这样，在未来出现纠纷时，您可以凭借这份书面合同来维护自己的合法权益。
三、补签合同的好处
明确权利义务：补签合同可以明确双方在租赁期间的权利和义务，避免因为口头协议而产生的模糊和不确定性。
预防纠纷：书面合同可以作为未来纠纷解决的依据。如果双方在未来因为租赁问题产生争议，这份合同将起到至关重要的作用。
保护自身权益：作为租客，您有权要求房东提供符合法律规定的租赁条件。补签合同可以确保您的权益得到充分保护。
四、注意事项与建议
保留证据：在补签合同之前，建议您保留好所有与租赁相关的证据，如房租支付凭证、与房东的沟通记录等。这些证据将在未来可能出现的纠纷中起到关键作用。
法律咨询：如果您在补签合同的过程中遇到任何法律问题或困惑，可以随时向我咨询。我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。
及时补签：为了避免未来可能出现的纠纷和不确定性，我建议您尽快与房东协商并补签书面合同。这样，您可以更加安心地继续租赁该房屋。
综上所述，您可以要求房东补签这段时间的租赁合同。在补签过程中，请确保合同内容明确、条款完整，并采用书面形式进行确认。如果您在补签合同的过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。