受害家属在以下情况下可申请第二次司法救助，但需结合具体地区政策及案件进展综合判断：

1. 首次救助金额不足以覆盖实际损失
   若首次司法救助的金额明显低于受害家属因案件遭受的实际经济损失（如医疗费、丧葬费、被扶养人生活费等），且家属能提供充分证据证明差额部分，可向原救助机关申请补充救助。例如，首次救助仅覆盖部分医疗费，但后续产生长期康复费用，家属可申请追加。

2. 案件出现新证据或新情况
   若案件在首次救助后出现新证据（如犯罪嫌疑人新增财产线索、保险理赔等）或新情况（如受害人家属因案件导致生活陷入极端困难），可申请第二次救助。例如，首次救助后发现犯罪嫌疑人有隐藏财产，执行阶段可追回部分款项，但家属仍面临生活困境，可申请补充救助。

3. 首次救助未覆盖全部法定救助范围
   根据《关于建立完善国家司法救助制度的意见（试行）》，司法救助范围包括“刑事案件被害人受到犯罪侵害而遭受重大生活困难”等情形。若首次救助未涵盖全部法定情形（如未考虑被扶养人生活费、精神损害抚慰金等），家属可申请补足。

4. 地区政策允许二次救助
   部分地区（如经济发达地区或试点地区）可能出台地方性法规，允许在特定条件下申请第二次司法救助。例如，某些省份规定“若首次救助后家属生活仍低于当地最低生活保障标准，可再次申请”。家属需查阅当地政策或咨询救助机关确认。

申请流程与注意事项：

• 材料准备：需提交首次救助决定书、新证据或困难证明（如医院诊断书、社区贫困证明）、申请书等。
  
• 申请机关：通常为首次作出救助决定的法院、检察院或司法局。
  
• 时效限制：部分地区规定需在首次救助后一定期限内（如1年内）提出，逾期可能不予受理。
  

建议：若家属认为符合上述条件，可携带相关材料向原救助机关提交书面申请，并明确说明二次救助的理由及依据。如有疑问，可直接向我咨询具体案件的适用性。