遗嘱继承人继承已故立遗嘱人诉权的条件，主要涉及以下几个方面：

1. 存在合法有效的遗嘱：

   • 遗嘱必须符合法律规定的实质要件和形式要件。实质要件包括遗嘱人立遗嘱时必须具有完全民事行为能力、遗嘱处分的是个人财产、应当为缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人保留必要份额。形式要件则包括自书遗嘱、代书遗嘱、打印遗嘱、录音录像遗嘱、口头遗嘱、公证遗嘱六种形式，且各种形式的遗嘱均需满足相应的形式规定。
   • 法律依据：《民法典继承编》第一千一百三十三条至第一千一百三十九条，详细规定了遗嘱的形式、内容及有效性要求。

2. 遗嘱继承人具有继承资格：

   • 遗嘱继承人未丧失继承权，也未放弃继承权。若遗嘱继承人丧失或放弃继承权，则不再具有继承资格，不能适用遗嘱继承。
   • 法律依据：遗嘱继承体现了意思自治原则，但继承人的资格仍需符合法律规定的条件。

3. 诉讼具有财产性质：

   • 仅当诉讼涉及财产性权利义务时，遗嘱继承人才有权继续参与。例如，合同纠纷中的债权债务、侵权纠纷中的损害赔偿请求权等。若诉讼纯属人身性质，如离婚或解除收养关系，则随当事人死亡而终结。
   • 实践要点：在继承诉讼中，法院会审查诉讼的性质，以确定遗嘱继承人是否具有参诉资格。

4. 继承人表明参诉意愿并提交必要材料：

   • 在诉讼过程中，若一方当事人（立遗嘱人）不幸去世，其遗嘱继承人需在合理期限内，向人民法院明确表示是否愿意继续参与诉讼，并接受被继承人已进行的诉讼行为。同时，继承人需向法院提供身份证明、被继承人的死亡证明以及继承权证明（如遗嘱、继承协议或公证文书等），以证实其身份和继承权的合法性。
   • 法律程序：法院在得知当事人死亡后，会依法裁定中止诉讼，等待继承人表明意愿。经法院确认身份和继承权后，继承人将取代原当事人的地位，承担其在诉讼中的所有权利义务。

5. 没有遗赠扶养协议或遗赠扶养协议未涉及遗产部分：

   • 遗嘱继承的效力高于法定继承，但低于遗赠扶养协议。因此，只有在没有遗赠扶养协议或遗赠扶养协议无效、或虽遗赠扶养协议有效但遗产中遗赠扶养协议尚未涉及的部分，才可以进行遗嘱继承。
   • 法律依据：遗嘱继承与遗赠扶养协议的关系，在《民法典继承编》中有明确规定。

特殊情况处理：

• 若遗嘱继承人明确表示放弃诉讼权利，则诉讼程序将宣告终结。
• 在有多名遗嘱继承人的情况下，并非所有人都必须参加诉讼。只有那些不放弃诉讼权利或需要承担义务的继承人才需出庭。

总结与建议： 遗嘱继承人继承已故立遗嘱人诉权，需满足存在合法有效的遗嘱、遗嘱继承人具有继承资格、诉讼具有财产性质、继承人表明参诉意愿并提交必要材料，以及没有遗赠扶养协议或遗赠扶养协议未涉及遗产部分等条件。在实际操作中，建议遗嘱继承人及时咨询专业律师，以确保自身权益得到妥善保护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。