结论前置：
详细分析：
首先，我们需要明确的是，在法律上，亲生子对父亲的私生子并没有直接的扶养义务。这是因为扶养义务通常基于法律规定的特定关系，如父母与子女之间、夫妻之间等。而亲生子与私生子之间，并不构成这种法定的扶养关系。
然而，也存在一些特殊情况，可能使得亲生子对私生子产生一定的扶养责任。例如：
私生子未成年且无其他扶养人：如果私生子尚未成年，且其母亲或其他法定扶养人无法履行扶养义务，那么在某些情况下，法院可能会根据实际情况，判决亲生子承担一定的扶养责任。但这并非基于亲生子与私生子之间的直接法律关系，而是基于对未成年人权益的保护。
亲生子继承了父亲的遗产：如果亲生子继承了父亲的遗产，而私生子作为父亲的非婚生子女，也有权继承父亲的遗产（在符合法定继承条件的情况下）。在这种情况下，如果私生子生活困难且无其他生活来源，亲生子作为遗产继承人，可能需要在继承遗产的范围内，对私生子给予一定的经济帮助。但这种帮助并非扶养义务，而是基于遗产继承的公平原则和道德考量。
法律建议：
对于亲生子而言，如果没有特殊的法律关系或道德考量，一般不需要对父亲的私生子承担扶养义务。
如果亲生子与私生子之间存在特殊的情感联系或道德责任，且愿意提供帮助，那么可以通过协商或签订相关协议的方式，明确双方的权利和义务。
如果私生子生活困难且无其他生活来源，亲生子作为父亲的亲属，可以考虑在力所能及的范围内提供一定的经济帮助或支持。但这种帮助应该是自愿的，而非基于法律义务。
可能的法律后果：
如果亲生子拒绝承担本不应由其承担的扶养义务，而私生子又因此遭受了严重的生活困难或损害，私生子或其法定代理人可以通过法律途径寻求救济。但这种情况下的法律责任通常较为有限，且需要具体的法律事实和证据支持。
如果亲生子与私生子之间签订了相关协议并约定了扶养义务，但亲生子未履行协议约定的义务，那么私生子或其法定代理人可以依据协议向法院提起诉讼，要求亲生子履行协议约定的义务。