在孤寡老人亡故后，其侄子和外甥是否有财产继承权，主要取决于老人是否留有有效遗嘱或遗赠扶养协议，以及法定继承人的存在情况。以下是对此问题的详细分析：
一、存在有效遗嘱或遗赠扶养协议的情况
根据《中华人民共和国民法典》继承编的规定，若被继承人生前立有合法有效遗嘱或与他人签订了遗赠扶养协议，遗产将首先按照遗嘱或遗赠扶养协议进行分配。这意味着，如果遗嘱中明确指定了继承人，并且未包含侄子和外甥作为继承人，那么他们将无法直接继承财产。仅当遗嘱中明确表示将部分或全部财产留给侄子和外甥时，他们才有权利继承相应财产。
二、按照法定继承的情况
在被继承人没有留下有效遗嘱或遗赠扶养协议的情况下，遗产将按照法定继承顺序进行分配。
第一顺序继承人存在的情况：
- 法定继承中，第一顺序继承人包括配偶、子女、父母。
- 如果孤寡老人亡故时，其没有配偶、子女，但父母中的任何一人仍在世（尽管在此案例中父母已亡故，但为全面分析仍列出此情况），那么遗产将由这些第一顺序继承人继承。
- 在此情况下，侄子和外甥作为非第一顺序继承人，没有继承财产的权利。
第一顺序继承人不存在，且第二顺序继承人中部分先亡的情况：
- 如果孤寡老人亡故时，其没有配偶、子女，且父母也先于他去世，那么应由其第二顺序继承人（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）继承。
- 鉴于祖父母、外祖父母均已去世，若兄弟姐妹中有人先于被继承人死亡，那么根据《中华人民共和国民法典》第1128条第2款的规定，该兄弟姐妹的子女（即被继承人的侄子/侄女、外甥/外甥女）将享有代位继承的权利，可以继承原本属于其父母（即已去世的兄弟姐妹）的份额。
三、特殊情形下的考虑
- 代位继承的份额：代位继承人一般只能继承被代位继承人有权继承的遗产份额。即，如果被代位继承人（如孤寡老人的兄弟姐妹）健在时能继承多少份额，代位继承人（如侄子、外甥）也一般只能继承多少份额。
- 缺乏劳动能力或尽过主要赡养义务：如果代位继承人缺乏劳动能力又没有生活来源，或者对被继承人尽过主要赡养义务，根据权利义务相一致原则，他们可能会分配到更多的遗产。
四、建议与提醒
- 订立遗嘱：为了避免继承纠纷，孤寡老人在生前可以订立遗嘱，明确指定遗产的继承人。这样不仅可以确保遗产按照自己的意愿进行分配，还可以减少家族内部的矛盾和纷争。
- 法律咨询：在面临继承问题时，建议及时咨询专业律师，以便根据具体情况得到准确的法律意见和帮助。
总结来说，在孤寡老人亡故后，其侄子和外甥是否有财产继承权，取决于老人是否留有有效遗嘱或遗赠扶养协议，以及法定继承人的存在情况。如果老人没有留下有效遗嘱或遗赠扶养协议，且其兄弟姐妹先于其亡故，那么侄子和外甥作为代位继承人，将有权继承原本属于其父母的份额。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。