结论：子女声称母亲在世时已使用其银行存款，这一说法是否合法，需视具体情况而定，但通常情况下，未经合法继承程序擅自使用死者银行卡内资金是不合法的。以下从多个角度进行分析：
一、法律角度
遗产的法定定义与继承程序：
- 根据《中华人民共和国民法典》，遗产是自然人死亡时遗留的个人合法财产，这自然包括了银行卡账户内的资金。
- 继承开始后，必须遵循法定程序进行继承，明确各继承人对遗产的权利。若子女在未完成合法继承手续前，擅自支取银行卡内资金，可能侵犯其他继承人的合法权益，从而引发继承纠纷。
法律责任：
- 子女若擅自支取较大金额，不仅可能面临银行冻结账户的风险，还可能承担法律责任。情节严重者，甚至可能涉嫌侵占财产等违法犯罪行为。
二、实际操作与金融机构规定
银行账户管理：
- 存款人死亡后，银行通常会对账户进行冻结，以确保资金的安全和正确归属。这是银行履行客户身份识别和账户管理职责的重要体现。
继承权证明文件：
- 若子女或其他继承人希望支取银行卡内的资金，需向银行提供继承权证明文件，如继承权公证书或法院判决书、裁定书、调解书等。这些文件是银行办理资金支取或账户销户等手续的重要依据。
- 继承权公证书：所有继承人需携带身份证、户口簿、母亲的死亡证明、银行卡等材料前往公证处办理。公证机构在核实并确认继承人的身份、继承权及遗产范围后，会出具公证书。
- 法院法律文书：若继承人之间对遗产分割存在争议，可通过向人民法院提起继承诉讼解决。法院审理后作出的法律文书具有法律效力，银行将据此执行相关业务。
三、子女声称母亲在世时已使用资金的情况分析
若子女能提供充分证据：
- 如子女能提供母亲在世时使用银行卡内资金的充分证据（如交易记录、母亲生前的书面或口头指示等），且这些使用行为符合母亲的真实意愿和法律规定，那么子女的说法可能是合法的。但这种情况较为特殊，且需严格证明。
若子女无法提供充分证据：
- 若子女无法提供充分证据证明母亲在世时已使用银行卡内资金，或这些使用行为存在争议，那么子女擅自支取资金的行为很可能被视为非法。在这种情况下，子女应遵循法律程序处理遗产，以确保所有操作符合相关法律法规要求。
四、建议与后续行动
- 遵循法律程序：子女在母亲去世后，应首先遵循法律程序处理遗产，包括确定继承权、办理继承权证明文件等。
- 保留证据：若子女认为母亲在世时已使用银行卡内资金，应尽可能保留相关证据，以便在需要时证明自己的说法。
- 咨询专业意见：如有任何疑问或需要协助，子女应及时向我咨询，以获取准确的法律指导和帮助。
综上所述，子女声称母亲在世时已使用其银行存款是否合法，需视具体情况而定。但无论如何，子女都应遵循法律程序处理遗产，以确保自身和其他继承人的合法权益得到保护。如有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我提问。