老板是否有责任，需根据具体情况判断，一般而言，若老板无过错则无需承担责任。以下从不同角度进行分析：
一、安全保障义务的角度
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。在棋牌室这一场景中，老板作为经营场所的管理者，有义务确保场所内的安全，包括防止因场所设施、管理等问题导致的顾客伤害。然而，顾客因害怕民警检查而逃跑摔伤，并不直接属于老板未尽到安全保障义务的情形。除非老板的行为（如故意制造恐慌、未提供安全出口等）与顾客的摔伤有直接因果关系，否则老板通常不承担责任。
二、因果关系的角度
在侵权责任法中，因果关系是判断责任的重要依据。顾客摔伤的直接原因是其自身的逃跑行为，而非老板的行为。除非能证明老板的行为（如驱赶、威胁等）直接导致了顾客的恐慌和逃跑，进而造成摔伤，否则老板不承担责任。在一般情况下，顾客因害怕民警检查而逃跑摔伤，与老板的行为无直接因果关系。
三、过错责任的角度
过错责任原则要求行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在本案中，若老板无过错（如未驱赶、威胁顾客，未设置障碍物等），则无需承担责任。顾客作为完全民事行为能力人，应当对自己的行为负责，包括在逃跑过程中可能产生的风险。
四、特殊情况考虑
当然，也存在一些特殊情况可能使老板承担一定的责任。例如，如果棋牌室存在安全隐患（如地面湿滑、照明不足等），且老板未采取合理措施进行防范，导致顾客在逃跑过程中摔伤，那么老板可能因未尽到安全保障义务而承担部分责任。但这种情况需要具体的证据支持，且责任比例会根据实际情况进行判定。
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