当行政判决生效后，若涉及行政机关行为违法且自身遭受损失，应首先向赔偿义务机关（即作出违法行政行为的机关）申请国家赔偿，而非直接申请执行行政判决。以下是详细分析：
一、申请国家赔偿的流程
提交赔偿申请：
- 向赔偿义务机关提交书面赔偿申请，明确赔偿请求、事实理由，并附上相关证据材料。
- 赔偿义务机关通常是作出违法行政行为的行政机关。
赔偿义务机关的处理：
- 赔偿义务机关收到申请后，应在两个月内决定是否赔偿。
- 若决定赔偿，将与赔偿请求人协商赔偿方式、项目、数额等，并签订赔偿协议。
- 若决定不赔偿，将书面通知赔偿请求人并说明原因。
对赔偿决定的复议或诉讼：
- 若对赔偿义务机关的决定不满意，可在三个月内向人民法院提起行政赔偿诉讼。
- 法院将依法审理并作出裁判，以保障赔偿请求人的合法权益。
二、申请执行行政判决的适用情况
- 申请执行行政判决通常适用于行政机关不履行生效行政判决所确定的义务时。例如，若行政判决要求行政机关撤销某一行政行为或履行某一法定职责，而行政机关未履行，则赔偿请求人可向法院申请强制执行。
- 但在本题情境下，即行政判决已认定行政机关行为违法且赔偿请求人遭受损失时，应优先通过申请国家赔偿来维护自身权益，而非直接申请执行行政判决。
三、特殊情况下的处理
- 若行政判决未明确赔偿事项：但认定了行政机关行为违法，赔偿请求人仍应先向赔偿义务机关申请国家赔偿。
- 若赔偿义务机关不作为：在申请国家赔偿过程中，若赔偿义务机关未在规定期限内作出决定或赔偿请求人对决定不满意，赔偿请求人可及时向法院提起行政赔偿诉讼。
四、法律建议
- 及时申请：在行政判决生效后，应尽快向赔偿义务机关提交赔偿申请，以免错过申请时效。
- 准备充分证据：在提交赔偿申请时，应准备充分的证据材料以支持自己的赔偿请求。
- 咨询专业律师：若在申请国家赔偿过程中遇到任何问题或困难，可随时向我咨询，我将为你提供专业的法律帮助。
总结来说，当行政判决生效后且涉及行政机关行为违法导致自身遭受损失时，应首先向赔偿义务机关申请国家赔偿。若对赔偿决定不满意或赔偿义务机关不作为，再考虑通过法律途径维护自身权益。