通过机构找月嫂，月嫂受伤后的赔偿责任，需根据具体情况来确定，一般分为以下几种情况：
若机构存在过错：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，如果月嫂是通过中介机构找到的，且该机构在选任、管理或提供服务过程中存在过错（如未对月嫂进行必要的健康检查、技能培训，或未提供安全的工作环境等），导致月嫂在提供服务过程中受伤，那么机构应当承担相应的赔偿责任。
- 例如，如果机构未对月嫂进行体检，导致月嫂因健康问题在工作中受伤，机构就可能因未尽到合理的选任和管理义务而承担责任。
若雇主（即用户）存在过错：
- 如果雇主在月嫂提供服务过程中存在过错（如要求月嫂从事超出其能力范围的工作，或未提供必要的工作条件等），导致月嫂受伤，那么雇主也可能需要承担一定的赔偿责任。
- 例如，如果雇主要求月嫂搬运过重的物品，导致月嫂受伤，雇主就可能因未提供安全的工作条件而承担责任。
若月嫂自身存在过错：
- 如果月嫂在提供服务过程中因自身疏忽或故意行为导致受伤，且该行为与雇主或机构无关，那么月嫂可能需要自行承担部分或全部责任。
- 例如，如果月嫂在工作中未遵守安全操作规程，导致自己受伤，那么她可能需要自行承担责任。
若存在第三方责任：
- 如果月嫂的受伤是由第三方（如其他家庭成员、访客等）的行为导致的，那么第三方可能需要承担相应的赔偿责任。
- 例如，如果家中的其他成员不小心撞倒了月嫂，导致她受伤，那么该成员可能需要承担责任。
在处理此类纠纷时，建议采取以下步骤：
- 收集证据：包括月嫂的受伤情况、医疗记录、工作记录、与机构或雇主的沟通记录等，以证明各方在事件中的行为和责任。
- 协商解决：首先尝试与机构、雇主或第三方进行协商，寻求达成和解协议，以避免长时间的诉讼过程。
- 法律途径：如果协商无果，可以考虑通过法律途径解决纠纷，如向法院提起诉讼或申请仲裁。
最后，需要强调的是，每个案件的具体情况都有所不同，因此赔偿责任也会因案件而异。在处理此类纠纷时，建议咨询专业律师，以便根据具体情况制定合适的解决方案。如果你有任何法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。