当月嫂在照顾婴儿过程中不慎导致婴儿摔伤时，您可以通过以下步骤来寻求赔偿：
一、确定赔偿范围与标准
首先，您需要明确赔偿的范围和标准，这通常包括以下几个方面：
医疗费用：涵盖婴儿因摔伤而产生的所有医疗费用，如挂号费、检查费、治疗费、药费以及可能的住院费等。请务必保留所有正规医疗机构出具的收款凭证作为证据。
护理费用：
交通费用：赔偿因就医、转院等实际发生的交通费用。请保留所有正式票据，并确保凭据与就医地点、时间、人数、次数相符合。
其他相关费用：如住院伙食补助费、营养费（根据婴儿伤残情况及医疗机构的意见确定）、残疾赔偿金（若婴儿伤势构成伤残，根据伤残等级和当地收入标准计算）以及精神损害抚慰金（根据侵权人的过错程度、侵害手段、场合、行为方式、后果及当地平均生活水平等因素综合确定）。
二、确定赔偿主体
接下来，您需要确定赔偿的主体：
月嫂：作为直接责任人，月嫂应承担赔偿责任。如果月嫂是直接受雇于您，赔偿问题将依据双方雇佣合同及《中华人民共和国民法典》的相关规定处理。
家政公司：如果月嫂是家政公司的员工，那么家政公司通常也需承担赔偿责任。这是基于《中华人民共和国民法典》关于用人单位对员工在执行工作任务时造成损害的规定。即使月嫂与家政公司不存在劳动关系，但家政公司对月嫂有监督、管理义务，未尽到相应义务时也可能需承担赔偿责任。
三、收集证据并协商赔偿
在确定了赔偿范围和主体后，您需要收集相关证据来支持您的索赔请求。这包括医疗记录、费用票据、监控录像、目击者证言等。然后，您可以尝试与月嫂或家政公司进行协商，以达成赔偿协议。
四、法律途径解决争议
如果双方无法达成一致，您可以通过以下法律途径来解决争议：
投诉举报：向当地消费者协会、妇联或市场监管部门反映问题，寻求他们的帮助和介入。
民事诉讼：向法院提起民事诉讼，要求赔偿损失。在诉讼过程中，法院将综合考虑婴儿受伤程度、治疗费用、护理费用等因素来判决赔偿金额。
刑事报案：如果月嫂的行为涉嫌故意伤害或过失致人重伤等犯罪行为，您可以向公安机关报案，寻求刑事追究。
五、风险防范建议
为了避免类似事件的再次发生，建议您采取以下风险防范措施：
选择正规机构：在聘请月嫂时，务必选择有营业执照、健康证及职业资格证书的正规家政公司或月嫂。
明确合同条款：在服务合同中明确约定服务标准、违约责任及保险覆盖范围等条款，以确保您的权益得到充分保障。
购买商业保险：考虑为婴儿投保意外伤害险等商业保险，以降低潜在的风险和损失。