在未立遗嘱的情况下，遗产的继承将遵循法定继承的顺序和规则。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗产的继承顺序分为第一顺序和第二顺序。

第一顺序继承人主要包括：配偶、子女、父母。这里的子女，不仅涵盖了婚生子女，还包括非婚生子女、养子女以及有扶养关系的继子女。需要注意的是，继子女要成为法定继承人，必须与继父母之间形成了实际的扶养关系，这既包括继父母对继子女的抚养，也包括继子女对继父母的赡养。如果继子女在成年后未对继父母履行赡养义务，那么他们可能不被视为有扶养关系的继子女，从而不具备法定继承人的资格。

第二顺序继承人则包括：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。在继承开始后，首先由第一顺序继承人继承遗产，第二顺序继承人不参与继承。只有在没有第一顺序继承人继承的情况下，才会由第二顺序继承人继承。

以您提供的案例为例，如果一位老人去世且未立遗嘱，其遗产的继承将首先考虑其配偶、子女和父母。如果老人有配偶和子女，那么遗产将由他们共同继承。如果老人没有第一顺序继承人，那么遗产将由其兄弟姐妹、祖父母或外祖父母继承。

在实际操作中，如果遗产涉及房产等大额财产，且继承人之间对遗产分配有争议，那么可能需要通过法律途径来解决。法院会根据相关法律法规和实际情况，对遗产进行公正、合理的分配。

因此，在未立遗嘱的情况下，顺序继承人的确定和遗产的分配都需要遵循法律法规的规定，确保继承过程的公正性和合法性。如果您或您的家人面临此类问题，建议咨询专业的法律人士以获取更具体的法律建议。