政府举办的健康产业集团与私营医院合作是合法的。以下是对此问题的详细分析：

一. 合作性质的合法性

1. 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》及相关法律法规，并未明确禁止政府举办的企业与私营企业之间的合作。只要双方的合作遵循自愿、公平、诚实信用的原则，且不违反法律法规的强制性规定，即视为合法。
2. 合作形式：政府举办的健康产业集团与私营医院可以通过多种形式进行合作，如股权合作、项目合作、技术合作等。这些合作形式在法律上都是被允许的，只要合作内容合法，且符合双方利益。

二. 合作中可能涉及的法律问题

1. 合同签订：双方合作时，应签订详细的合作合同，明确合作内容、方式、期限、权利义务及违约责任等。合同内容应合法、有效，且符合双方的真实意愿。
2. 资质审查：政府举办的健康产业集团在选择合作对象时，应对私营医院的资质进行严格审查，确保其具备合法的医疗执业资格和相应的医疗技术实力。
3. 监管与合规：合作过程中，双方应遵守相关法律法规，接受相关部门的监管。同时，应建立完善的合规制度，确保合作活动的合法性和规范性。

三. 合作的实际案例

• 在实际中，政府举办的健康产业集团与私营医院合作的案例屡见不鲜。这些合作有助于整合双方资源，提升医疗服务水平，满足人民群众多样化的医疗需求。只要合作双方遵循法律法规，确保合作的合法性和规范性，这种合作模式是完全可行的。

我建议：在合作前，双方应充分了解彼此的资质和实力，签订详细的合作合同，并建立完善的监管和合规制度。如有进一步需要，您可以继续咨询我。